Математический анализ Примеры

$2 + x^{2} + \tan (\frac{π x}{2})$

Этап 1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $2 + x^{2} + \tan (\frac{π x}{2})$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\tan (\frac{π x}{2})]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\tan (\frac{π x}{2})]$

Этап 1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\tan (\frac{π x}{2})]$

Этап 1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$0 + 2 x + \frac{d}{d x} [\tan (\frac{π x}{2})]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\tan (\frac{π x}{2})]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \tan (x)$ и $g (x) = \frac{π x}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{π x}{2}$ .

$0 + 2 x + \frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{π x}{2}]$

Этап 2.1.2

Производная $\tan (u)$ по $u$ равна $\sec^{2} (u)$ .

$0 + 2 x + \sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [\frac{π x}{2}]$

Этап 2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{π x}{2}$ .

$0 + 2 x + \sec^{2} (\frac{π x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{π x}{2}]$

Этап 2.2

Поскольку $\frac{π}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{π x}{2}$ по $x$ равна $\frac{π}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 2 x + \sec^{2} (\frac{π x}{2}) (\frac{π}{2} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 + 2 x + \sec^{2} (\frac{π x}{2}) (\frac{π}{2} \cdot 1)$

Этап 2.4

Умножим $\frac{π}{2}$ на $1$ .

$0 + 2 x + \sec^{2} (\frac{π x}{2}) \frac{π}{2}$

Этап 2.5

Объединим $\sec^{2} (\frac{π x}{2})$ и $\frac{π}{2}$ .

$0 + 2 x + \frac{\sec^{2} (\frac{π x}{2}) π}{2}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Добавим $0$ и $2 x$ .

$2 x + \frac{\sec^{2} (\frac{π x}{2}) π}{2}$

Этап 3.2

Изменим порядок членов.

$\frac{\sec^{2} (\frac{π x}{2}) π}{2} + 2 x$

Этап 3.3

Изменим порядок множителей в $\frac{\sec^{2} (\frac{π x}{2}) π}{2} + 2 x$ .

$\frac{π \sec^{2} (\frac{π x}{2})}{2} + 2 x$