Математический анализ Примеры

$20 + 9 \cos (\frac{π}{6} x)$

Этап 1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $20 + 9 \cos (\frac{π}{6} x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [20] + \frac{d}{d x} [9 \cos (\frac{π}{6} x)]$ .

$\frac{d}{d x} [20] + \frac{d}{d x} [9 \cos (\frac{π}{6} x)]$

Этап 1.2

Поскольку $20$ является константой относительно $x$ , производная $20$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [9 \cos (\frac{π}{6} x)]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [9 \cos (\frac{π}{6} x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим $\frac{π}{6}$ и $x$ .

$0 + \frac{d}{d x} [9 \cos (\frac{π x}{6})]$

Этап 2.2

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9 \cos (\frac{π x}{6})$ по $x$ равна $9 \frac{d}{d x} [\cos (\frac{π x}{6})]$ .

$0 + 9 \frac{d}{d x} [\cos (\frac{π x}{6})]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \cos (x)$ и $g (x) = \frac{π x}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{π x}{6}$ .

$0 + 9 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{π x}{6}])$

Этап 2.3.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$0 + 9 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [\frac{π x}{6}])$

Этап 2.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{π x}{6}$ .

$0 + 9 (- \sin (\frac{π x}{6}) \frac{d}{d x} [\frac{π x}{6}])$

Этап 2.4

Поскольку $\frac{π}{6}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{π x}{6}$ по $x$ равна $\frac{π}{6} \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 9 (- \sin (\frac{π x}{6}) (\frac{π}{6} \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 + 9 (- \sin (\frac{π x}{6}) (\frac{π}{6} \cdot 1))$

Этап 2.6

Умножим $\frac{π}{6}$ на $1$ .

$0 + 9 (- \sin (\frac{π x}{6}) \frac{π}{6})$

Этап 2.7

Объединим $\frac{π}{6}$ и $\sin (\frac{π x}{6})$ .

$0 + 9 (- \frac{π \sin (\frac{π x}{6})}{6})$

Этап 2.8

Умножим $- 1$ на $9$ .

$0 - 9 \frac{π \sin (\frac{π x}{6})}{6}$

Этап 2.9

Объединим $- 9$ и $\frac{π \sin (\frac{π x}{6})}{6}$ .

$0 + \frac{- 9 (π \sin (\frac{π x}{6}))}{6}$

Этап 2.10

Сократим общий множитель $- 9$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1

Вынесем множитель $3$ из $- 9 π \sin (\frac{π x}{6})$ .

$0 + \frac{3 (- 3 π \sin (\frac{π x}{6}))}{6}$

Этап 2.10.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.2.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$0 + \frac{3 (- 3 π \sin (\frac{π x}{6}))}{3 (2)}$

Этап 2.10.2.2

Сократим общий множитель.

$0 + \frac{3 (- 3 π \sin (\frac{π x}{6}))}{3 \cdot 2}$

Этап 2.10.2.3

Перепишем это выражение.

$0 + \frac{- 3 π \sin (\frac{π x}{6})}{2}$

Этап 2.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$0 - \frac{3 π \sin (\frac{π x}{6})}{2}$

Этап 3

Вычтем $\frac{3 π \sin (\frac{π x}{6})}{2}$ из $0$ .

$- \frac{3 π \sin (\frac{π x}{6})}{2}$