Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{1}{x - 4}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Перепишем $\frac{1}{x - 4}$ в виде ${(x - 4)}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{- 1}]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x - 4$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x - 4]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 4]$

Этап 1.1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x - 4$ .

$- {(x - 4)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 4]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

По правилу суммы производная $x - 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$- {(x - 4)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- {(x - 4)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} [- 4])$

Этап 1.1.3.3

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4$ относительно $x$ равна $0$ .

$- {(x - 4)}^{- 2} (1 + 0)$

Этап 1.1.3.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$- {(x - 4)}^{- 2} \cdot 1$

Этап 1.1.3.4.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- {(x - 4)}^{- 2}$

Этап 1.1.4

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = - \frac{1}{{(x - 4)}^{2}}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- \frac{1}{{(x - 4)}^{2}}$ .

$- \frac{1}{{(x - 4)}^{2}}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- \frac{1}{{(x - 4)}^{2}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- \frac{1}{{(x - 4)}^{2}} = 0$

Этап 2.2

Приравняем числитель к нулю.

$1 = 0$

Этап 2.3

Поскольку $1 \neq 0$ , решения отсутствуют.

Нет решения

Этап 3

В области определения исходной задачи нет значений $x$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

Критические точки не найдены

Этап 4

Найдем, где производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим знаменатель в $\frac{1}{{(x - 4)}^{2}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

${(x - 4)}^{2} = 0$

Этап 4.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Приравняем $x - 4$ к $0$ .

$x - 4 = 0$

Этап 4.2.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 5

Найдя точку, в которой производная $f' (x) = - \frac{1}{{(x - 4)}^{2}}$ равна $0$ или не определена, проверим возрастание и убывание $f (x) = \frac{1}{x - 4}$ в интервале $(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$ .

$(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \infty, 4)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3$ .

$f' (3) = - \frac{1}{{((3) - 4)}^{2}}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Вычтем $4$ из $3$ .

$f' (3) = - \frac{1}{{(- 1)}^{2}}$

Этап 6.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f' (3) = - \frac{1}{1}$

Этап 6.2.2

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$f' (3) = - \frac{1}{1}$

Этап 6.2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$f' (3) = - 1 \cdot 1$

Этап 6.2.2.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f' (3) = - 1$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $- 1$ .

$- 1$

Этап 6.3

При $x = 3$ производная имеет вид $- 1$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(- \infty, 4)$ .

Убывание на $(- \infty, 4)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(4, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $5$ .

$f' (5) = - \frac{1}{{((5) - 4)}^{2}}$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Вычтем $4$ из $5$ .

$f' (5) = - \frac{1}{1^{2}}$

Этап 7.2.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$f' (5) = - \frac{1}{1}$

Этап 7.2.2

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$f' (5) = - \frac{1}{1}$

Этап 7.2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$f' (5) = - 1 \cdot 1$

Этап 7.2.2.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f' (5) = - 1$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $- 1$ .

$- 1$

Этап 7.3

При $x = 5$ производная имеет вид $- 1$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(4, \infty)$ .

Убывание на $(4, \infty)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 8

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Убывание на: $(- \infty, 4), (4, \infty)$

Этап 9