Математический анализ Примеры

$2 x \sin (2 x + 2)$

Этап 1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x \sin (2 x + 2)$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x \sin (2 x + 2)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x \sin (2 x + 2)]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = \sin (2 x + 2)$ .

$2 (x \frac{d}{d x} [\sin (2 x + 2)] + \sin (2 x + 2) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = 2 x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x + 2$ .

$2 (x (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x + 2]) + \sin (2 x + 2) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$2 (x (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x + 2]) + \sin (2 x + 2) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x + 2$ .

$2 (x (\cos (2 x + 2) \frac{d}{d x} [2 x + 2]) + \sin (2 x + 2) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

По правилу суммы производная $2 x + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$2 (x (\cos (2 x + 2) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2])) + \sin (2 x + 2) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (x (\cos (2 x + 2) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])) + \sin (2 x + 2) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 (x (\cos (2 x + 2) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2])) + \sin (2 x + 2) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2 (x (\cos (2 x + 2) (2 + \frac{d}{d x} [2])) + \sin (2 x + 2) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.5

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 (x (\cos (2 x + 2) (2 + 0)) + \sin (2 x + 2) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Добавим $2$ и $0$ .

$2 (x (\cos (2 x + 2) \cdot 2) + \sin (2 x + 2) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.6.2

Перенесем $2$ влево от $\cos (2 x + 2)$ .

$2 (x (2 \cdot \cos (2 x + 2)) + \sin (2 x + 2) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 (x (2 \cos (2 x + 2)) + \sin (2 x + 2) \cdot 1)$

Этап 4.8

Умножим $\sin (2 x + 2)$ на $1$ .

$2 (x (2 \cos (2 x + 2)) + \sin (2 x + 2))$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (x (2 \cos (2 x + 2))) + 2 \sin (2 x + 2)$

Этап 5.2

Умножим $2$ на $2$ .

$4 x \cos (2 x + 2) + 2 \sin (2 x + 2)$