Математический анализ Примеры

$30 \ln (2 x + 1)$

Этап 1

Поскольку $30$ является константой относительно $x$ , производная $30 \ln (2 x + 1)$ по $x$ равна $30 \frac{d}{d x} [\ln (2 x + 1)]$ .

$30 \frac{d}{d x} [\ln (2 x + 1)]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = 2 x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x + 1$ .

$30 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 x + 1])$

Этап 2.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$30 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 x + 1])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x + 1$ .

$30 (\frac{1}{2 x + 1} \frac{d}{d x} [2 x + 1])$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим $\frac{1}{2 x + 1}$ и $30$ .

$\frac{30}{2 x + 1} \frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Этап 3.2

По правилу суммы производная $2 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{30}{2 x + 1} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 3.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{30}{2 x + 1} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{30}{2 x + 1} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 3.5

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{30}{2 x + 1} (2 + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 3.6

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{30}{2 x + 1} (2 + 0)$

Этап 3.7

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Добавим $2$ и $0$ .

$\frac{30}{2 x + 1} \cdot 2$

Этап 3.7.2

Объединим $\frac{30}{2 x + 1}$ и $2$ .

$\frac{30 \cdot 2}{2 x + 1}$

Этап 3.7.3

Умножим $30$ на $2$ .

$\frac{60}{2 x + 1}$