Математический анализ Примеры

$- 4 x^{\frac{5}{3}} + 3 x^{\frac{7}{3}} + 8$

Этап 1

По правилу суммы производная $- 4 x^{\frac{5}{3}} + 3 x^{\frac{7}{3}} + 8$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{5}{3}}] + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{7}{3}}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{5}{3}}] + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{7}{3}}] + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{5}{3}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x^{\frac{5}{3}}$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{3}}]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{3}}] + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{7}{3}}] + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{5}{3}$ .

$- 4 (\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{7}{3}}] + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 2.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$- 4 (\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{7}{3}}] + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 2.4

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$- 4 (\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{7}{3}}] + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$- 4 (\frac{5}{3} x^{\frac{5 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{7}{3}}] + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$- 4 (\frac{5}{3} x^{\frac{5 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{7}{3}}] + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 2.6.2

Вычтем $3$ из $5$ .

$- 4 (\frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}}) + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{7}{3}}] + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 2.7

Объединим $\frac{5}{3}$ и $x^{\frac{2}{3}}$ .

$- 4 \frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{7}{3}}] + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 2.8

Объединим $- 4$ и $\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3}$ .

$\frac{- 4 (5 x^{\frac{2}{3}})}{3} + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{7}{3}}] + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 2.9

Умножим $5$ на $- 4$ .

$\frac{- 20 x^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{7}{3}}] + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 2.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{20 x^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{7}{3}}] + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{7}{3}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{\frac{7}{3}}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{3}}]$ .

$- \frac{20 x^{\frac{2}{3}}}{3} + 3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{3}}] + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{7}{3}$ .

$- \frac{20 x^{\frac{2}{3}}}{3} + 3 (\frac{7}{3} x^{\frac{7}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 3.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{20 x^{\frac{2}{3}}}{3} + 3 (\frac{7}{3} x^{\frac{7}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 3.4

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{20 x^{\frac{2}{3}}}{3} + 3 (\frac{7}{3} x^{\frac{7}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{20 x^{\frac{2}{3}}}{3} + 3 (\frac{7}{3} x^{\frac{7 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 3.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$- \frac{20 x^{\frac{2}{3}}}{3} + 3 (\frac{7}{3} x^{\frac{7 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 3.6.2

Вычтем $3$ из $7$ .

$- \frac{20 x^{\frac{2}{3}}}{3} + 3 (\frac{7}{3} x^{\frac{4}{3}}) + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 3.7

Объединим $\frac{7}{3}$ и $x^{\frac{4}{3}}$ .

$- \frac{20 x^{\frac{2}{3}}}{3} + 3 \frac{7 x^{\frac{4}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 3.8

Объединим $3$ и $\frac{7 x^{\frac{4}{3}}}{3}$ .

$- \frac{20 x^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{3 (7 x^{\frac{4}{3}})}{3} + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 3.9

Умножим $7$ на $3$ .

$- \frac{20 x^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{21 x^{\frac{4}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 3.10

Вынесем множитель $3$ из $21 x^{\frac{4}{3}}$ .

$- \frac{20 x^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{3 (7 x^{\frac{4}{3}})}{3} + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 3.11

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$- \frac{20 x^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{3 (7 x^{\frac{4}{3}})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 3.11.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{20 x^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{3 (7 x^{\frac{4}{3}})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 3.11.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{20 x^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{7 x^{\frac{4}{3}}}{1} + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 3.11.4

Разделим $7 x^{\frac{4}{3}}$ на $1$ .

$- \frac{20 x^{\frac{2}{3}}}{3} + 7 x^{\frac{4}{3}} + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 4

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8$ относительно $x$ равна $0$ .

$- \frac{20 x^{\frac{2}{3}}}{3} + 7 x^{\frac{4}{3}} + 0$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Добавим $- \frac{20 x^{\frac{2}{3}}}{3} + 7 x^{\frac{4}{3}}$ и $0$ .

$- \frac{20 x^{\frac{2}{3}}}{3} + 7 x^{\frac{4}{3}}$

Этап 5.2

Изменим порядок членов.

$7 x^{\frac{4}{3}} - \frac{20 x^{\frac{2}{3}}}{3}$