Математический анализ Примеры

$3 x \cosh (y) - \sinh ({(e^{x})}^{- 1})$

Этап 1

По правилу суммы производная $3 x \cosh (y) - \sinh ({(e^{x})}^{- 1})$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x \cosh (y)] + \frac{d}{d x} [- \sinh ({(e^{x})}^{- 1})]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x \cosh (y)] + \frac{d}{d x} [- \sinh ({(e^{x})}^{- 1})]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x \cosh (y)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $3 \cosh (y)$ является константой относительно $x$ , производная $3 x \cosh (y)$ по $x$ равна $3 \cosh (y) \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \cosh (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sinh ({(e^{x})}^{- 1})]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 \cosh (y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \sinh ({(e^{x})}^{- 1})]$

Этап 2.3

Умножим $3$ на $1$ .

$3 \cosh (y) + \frac{d}{d x} [- \sinh ({(e^{x})}^{- 1})]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \sinh ({(e^{x})}^{- 1})]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перемножим экспоненты в ${(e^{x})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \cosh (y) + \frac{d}{d x} [- \sinh (e^{x \cdot - 1})]$

Этап 3.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$3 \cosh (y) + \frac{d}{d x} [- \sinh (e^{- 1 \cdot x})]$

Этап 3.1.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$3 \cosh (y) + \frac{d}{d x} [- \sinh (e^{- x})]$

Этап 3.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \sinh (e^{- x})$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\sinh (e^{- x})]$ .

$3 \cosh (y) - \frac{d}{d x} [\sinh (e^{- x})]$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sinh (x)$ и $g (x) = e^{- x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $e^{- x}$ .

$3 \cosh (y) - (\frac{d}{d u_{1}} [\sinh (u_{1})] \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Этап 3.3.2

Производная $\sinh (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\cosh (u_{1})$ .

$3 \cosh (y) - (\cosh (u_{1}) \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Этап 3.3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $e^{- x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \cosh (y) - (\cosh (e^{x \cdot - 1}) \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Этап 3.3.3.2

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$3 \cosh (y) - (\cosh (e^{- 1 \cdot x}) \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Этап 3.3.3.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$3 \cosh (y) - (\cosh (e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Этап 3.4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $- x$ .

$3 \cosh (y) - (\cosh (e^{- x}) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x]))$

Этап 3.4.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ имеет вид $a^{u_{2}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$3 \cosh (y) - (\cosh (e^{- x}) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x]))$

Этап 3.4.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $- x$ .

$3 \cosh (y) - (\cosh (e^{- x}) (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]))$

Этап 3.5

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \cosh (y) - (\cosh (e^{- x}) (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])))$

Этап 3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 \cosh (y) - (\cosh (e^{- x}) (e^{- x} (- 1 \cdot 1)))$

Этап 3.7

Умножим $- 1$ на $1$ .

$3 \cosh (y) - (\cosh (e^{- x}) (e^{- x} \cdot - 1))$

Этап 3.8

Перенесем $- 1$ влево от $e^{- x}$ .

$3 \cosh (y) - (\cosh (e^{- x}) (- 1 \cdot e^{- x}))$

Этап 3.9

Перепишем $- 1 e^{- x}$ в виде $- e^{- x}$ .

$3 \cosh (y) - (\cosh (e^{- x}) (- e^{- x}))$

Этап 3.10

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$3 \cosh (y) + 1 (\cosh (e^{- x}) (e^{- x}))$

Этап 3.11

Умножим $\cosh (e^{- x})$ на $1$ .

$3 \cosh (y) + \cosh (e^{- x}) e^{- x}$

Этап 4

Изменим порядок членов.

$e^{- x} \cosh (e^{- x}) + 3 \cosh (y)$