Математический анализ Примеры

$4 (4 x^{3}) (2 - 9 x^{6})$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим $4$ на $4$ .

$\frac{d}{d x} [16 x^{3} (2 - 9 x^{6})]$

Этап 1.2

Поскольку $16$ является константой относительно $x$ , производная $16 x^{3} (2 - 9 x^{6})$ по $x$ равна $16 \frac{d}{d x} [x^{3} (2 - 9 x^{6})]$ .

$16 \frac{d}{d x} [x^{3} (2 - 9 x^{6})]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = 2 - 9 x^{6}$ .

$16 (x^{3} \frac{d}{d x} [2 - 9 x^{6}] + (2 - 9 x^{6}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $2 - 9 x^{6}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{6}]$ .

$16 (x^{3} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{6}]) + (2 - 9 x^{6}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 3.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$16 (x^{3} (0 + \frac{d}{d x} [- 9 x^{6}]) + (2 - 9 x^{6}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 3.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- 9 x^{6}]$ .

$16 (x^{3} \frac{d}{d x} [- 9 x^{6}] + (2 - 9 x^{6}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 3.4

Поскольку $- 9$ является константой относительно $x$ , производная $- 9 x^{6}$ по $x$ равна $- 9 \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$16 (x^{3} (- 9 \frac{d}{d x} [x^{6}]) + (2 - 9 x^{6}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 6$ .

$16 (x^{3} (- 9 (6 x^{5})) + (2 - 9 x^{6}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 3.6

Умножим $6$ на $- 9$ .

$16 (x^{3} (- 54 x^{5}) + (2 - 9 x^{6}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 4

Умножим $x^{3}$ на $x^{5}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перенесем $x^{5}$ .

$16 (x^{5} x^{3} \cdot - 54 + (2 - 9 x^{6}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 4.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$16 (x^{5 + 3} \cdot - 54 + (2 - 9 x^{6}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 4.3

Добавим $5$ и $3$ .

$16 (x^{8} \cdot - 54 + (2 - 9 x^{6}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 5

Перенесем $- 54$ влево от $x^{8}$ .

$16 (- 54 \cdot x^{8} + (2 - 9 x^{6}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$16 (- 54 x^{8} + (2 - 9 x^{6}) (3 x^{2}))$

Этап 7

Перенесем $3$ влево от $2 - 9 x^{6}$ .

$16 (- 54 x^{8} + 3 \cdot (2 - 9 x^{6}) x^{2})$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$16 (- 54 x^{8} + (3 \cdot 2 + 3 (- 9 x^{6})) x^{2})$

Этап 8.2

Применим свойство дистрибутивности.

$16 (- 54 x^{8} + 3 \cdot 2 x^{2} + 3 (- 9 x^{6}) x^{2})$

Этап 8.3

Применим свойство дистрибутивности.

$16 (- 54 x^{8}) + 16 (3 \cdot 2 x^{2}) + 16 (3 (- 9 x^{6}) x^{2})$

Этап 8.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Умножим $- 54$ на $16$ .

$- 864 x^{8} + 16 (3 \cdot 2 x^{2}) + 16 (3 (- 9 x^{6}) x^{2})$

Этап 8.4.2

Умножим $3$ на $2$ .

$- 864 x^{8} + 16 (6 x^{2}) + 16 (3 (- 9 x^{6}) x^{2})$

Этап 8.4.3

Умножим $6$ на $16$ .

$- 864 x^{8} + 96 x^{2} + 16 (3 (- 9 x^{6}) x^{2})$

Этап 8.4.4

Умножим $- 9$ на $3$ .

$- 864 x^{8} + 96 x^{2} + 16 (- 27 x^{6} x^{2})$

Этап 8.4.5

Умножим $x^{6}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.5.1

Перенесем $x^{2}$ .

$- 864 x^{8} + 96 x^{2} + 16 (- 27 (x^{2} x^{6}))$

Этап 8.4.5.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 864 x^{8} + 96 x^{2} + 16 (- 27 x^{2 + 6})$

Этап 8.4.5.3

Добавим $2$ и $6$ .

$- 864 x^{8} + 96 x^{2} + 16 (- 27 x^{8})$

Этап 8.4.6

Умножим $- 27$ на $16$ .

$- 864 x^{8} + 96 x^{2} - 432 x^{8}$

Этап 8.4.7

Вычтем $432 x^{8}$ из $- 864 x^{8}$ .

$- 1296 x^{8} + 96 x^{2}$