Математический анализ Примеры

$3 x \arctan (5 x)$

Этап 1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x \arctan (5 x)$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x \arctan (5 x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x \arctan (5 x)]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = \arctan (5 x)$ .

$3 (x \frac{d}{d x} [\arctan (5 x)] + \arctan (5 x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \arctan (x)$ и $g (x) = 5 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $5 x$ .

$3 (x (\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [5 x]) + \arctan (5 x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.2

Производная $\arctan (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$3 (x (\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [5 x]) + \arctan (5 x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u$ на $5 x$ .

$3 (x (\frac{1}{1 + {(5 x)}^{2}} \frac{d}{d x} [5 x]) + \arctan (5 x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем множитель $5$ из $5 x$ .

$3 (x (\frac{1}{1 + {(5 (x))}^{2}} \frac{d}{d x} [5 x]) + \arctan (5 x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Применим правило умножения к $5 (x)$ .

$3 (x (\frac{1}{1 + 5^{2} x^{2}} \frac{d}{d x} [5 x]) + \arctan (5 x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.2.1.2

Возведем $5$ в степень $2$ .

$3 (x (\frac{1}{1 + 25 x^{2}} \frac{d}{d x} [5 x]) + \arctan (5 x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.2.2

Объединим $\frac{1}{1 + 25 x^{2}}$ и $x$ .

$3 (\frac{x}{1 + 25 x^{2}} \frac{d}{d x} [5 x] + \arctan (5 x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.3

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 (\frac{x}{1 + 25 x^{2}} (5 \frac{d}{d x} [x]) + \arctan (5 x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.4

Объединим $5$ и $\frac{x}{1 + 25 x^{2}}$ .

$3 (\frac{5 x}{1 + 25 x^{2}} \frac{d}{d x} [x] + \arctan (5 x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 (\frac{5 x}{1 + 25 x^{2}} \cdot 1 + \arctan (5 x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.6

Умножим $\frac{5 x}{1 + 25 x^{2}}$ на $1$ .

$3 (\frac{5 x}{1 + 25 x^{2}} + \arctan (5 x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 (\frac{5 x}{1 + 25 x^{2}} + \arctan (5 x) \cdot 1)$

Этап 4.8

Умножим $\arctan (5 x)$ на $1$ .

$3 (\frac{5 x}{1 + 25 x^{2}} + \arctan (5 x))$

Этап 5

Чтобы записать $\arctan (5 x)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{1 + 25 x^{2}}{1 + 25 x^{2}}$ .

$3 (\frac{5 x}{1 + 25 x^{2}} + \frac{\arctan (5 x) (1 + 25 x^{2})}{1 + 25 x^{2}})$

Этап 6

Объединим числители над общим знаменателем.

$3 \frac{5 x + \arctan (5 x) (1 + 25 x^{2})}{1 + 25 x^{2}}$

Этап 7

Объединим $3$ и $\frac{5 x + \arctan (5 x) (1 + 25 x^{2})}{1 + 25 x^{2}}$ .

$\frac{3 (5 x + \arctan (5 x) (1 + 25 x^{2}))}{1 + 25 x^{2}}$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 (5 x + \arctan (5 x) \cdot 1 + \arctan (5 x) (25 x^{2}))}{1 + 25 x^{2}}$

Этап 8.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 (5 x) + 3 (\arctan (5 x) \cdot 1) + 3 (\arctan (5 x) (25 x^{2}))}{1 + 25 x^{2}}$

Этап 8.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1

Умножим $5$ на $3$ .

$\frac{15 x + 3 (\arctan (5 x) \cdot 1) + 3 (\arctan (5 x) (25 x^{2}))}{1 + 25 x^{2}}$

Этап 8.3.1.2

Умножим $\arctan (5 x)$ на $1$ .

$\frac{15 x + 3 \arctan (5 x) + 3 (\arctan (5 x) (25 x^{2}))}{1 + 25 x^{2}}$

Этап 8.3.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{15 x + 3 \arctan (5 x) + 3 (25 \arctan (5 x) x^{2})}{1 + 25 x^{2}}$

Этап 8.3.1.4

Умножим $25$ на $3$ .

$\frac{15 x + 3 \arctan (5 x) + 75 \arctan (5 x) x^{2}}{1 + 25 x^{2}}$

Этап 8.3.2

Изменим порядок множителей в $15 x + 3 \arctan (5 x) + 75 \arctan (5 x) x^{2}$ .

$\frac{15 x + 3 \arctan (5 x) + 75 x^{2} \arctan (5 x)}{1 + 25 x^{2}}$

Этап 8.4

Изменим порядок членов.

$\frac{75 x^{2} \arctan (5 x) + 15 x + 3 \arctan (5 x)}{25 x^{2} + 1}$