Математический анализ Примеры

$5 \log ({(2)}^{x + 10})$

Этап 1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 \log (2^{x + 10})$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [\log (2^{x + 10})]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\log (2^{x + 10})]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \log (x)$ и $g (x) = 2^{x + 10}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $2^{x + 10}$ .

$5 (\frac{d}{d u_{1}} [\log (u_{1})] \frac{d}{d x} [2^{x + 10}])$

Этап 2.2

Производная $\log (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\frac{1}{u_{1} \ln (10)}$ .

$5 (\frac{1}{2^{x + 10} \ln (10)} \frac{d}{d x} [2^{x + 10}])$

Этап 3

Объединим $\frac{1}{2^{x + 10} \ln (10)}$ и $5$ .

$\frac{5}{2^{x + 10} \ln (10)} \frac{d}{d x} [2^{x + 10}]$

Этап 4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $x + 10$ .

$\frac{5}{2^{x + 10} \ln (10)} (\frac{d}{d u_{2}} [2^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [x + 10])$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ имеет вид $a^{u_{2}} \ln (a)$ , где $a$ = $2$ .

$\frac{5}{2^{x + 10} \ln (10)} (2^{u_{2}} \ln (2) \frac{d}{d x} [x + 10])$

Этап 4.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x + 10$ .

$\frac{5}{2^{x + 10} \ln (10)} (2^{x + 10} \ln (2) \frac{d}{d x} [x + 10])$

Этап 5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $2^{x + 10}$ и $\frac{5}{2^{x + 10} \ln (10)}$ .

$\frac{2^{x + 10} \cdot 5}{2^{x + 10} \ln (10)} (\ln (2) \frac{d}{d x} [x + 10])$

Этап 5.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Объединим $\ln (2)$ и $\frac{2^{x + 10} \cdot 5}{2^{x + 10} \ln (10)}$ .

$\frac{\ln (2) (2^{x + 10} \cdot 5)}{2^{x + 10} \ln (10)} \frac{d}{d x} [x + 10]$

Этап 5.2.2

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Перенесем $5$ влево от $2^{x + 10}$ .

$\frac{\ln (2) (5 \cdot 2^{x + 10})}{2^{x + 10} \ln (10)} \frac{d}{d x} [x + 10]$

Этап 5.2.2.2

Перенесем $5$ влево от $\ln (2)$ .

$\frac{5 \cdot \ln (2) \cdot 2^{x + 10}}{2^{x + 10} \ln (10)} \frac{d}{d x} [x + 10]$

Этап 5.2.3

Сократим общий множитель $2^{x + 10}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 \ln (2) \cdot 2^{x + 10}}{2^{x + 10} \ln (10)} \frac{d}{d x} [x + 10]$

Этап 5.2.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{5 \ln (2)}{\ln (10)} \frac{d}{d x} [x + 10]$

Этап 5.3

По правилу суммы производная $x + 10$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10]$ .

$\frac{5 \ln (2)}{\ln (10)} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10])$

Этап 5.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{5 \ln (2)}{\ln (10)} (1 + \frac{d}{d x} [10])$

Этап 5.5

Поскольку $10$ является константой относительно $x$ , производная $10$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{5 \ln (2)}{\ln (10)} (1 + 0)$

Этап 5.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{5 \ln (2)}{\ln (10)} \cdot 1$

Этап 5.6.2

Умножим $\frac{5 \ln (2)}{\ln (10)}$ на $1$ .

$\frac{5 \ln (2)}{\ln (10)}$

Этап 6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим $5 \ln (2)$ путем переноса $5$ под логарифм.

$\frac{\ln (2^{5})}{\ln (10)}$

Этап 6.2

Возведем $2$ в степень $5$ .

$\frac{\ln (32)}{\ln (10)}$