Математический анализ Примеры

$4 \tan (5 x) \sec (5 x)$

Этап 1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 \tan (5 x) \sec (5 x)$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [\tan (5 x) \sec (5 x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\tan (5 x) \sec (5 x)]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \tan (5 x)$ и $g (x) = \sec (5 x)$ .

$4 (\tan (5 x) \frac{d}{d x} [\sec (5 x)] + \sec (5 x) \frac{d}{d x} [\tan (5 x)])$

Этап 3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sec (x)$ и $g (x) = 5 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $5 x$ .

$4 (\tan (5 x) (\frac{d}{d u_{1}} [\sec (u_{1})] \frac{d}{d x} [5 x]) + \sec (5 x) \frac{d}{d x} [\tan (5 x)])$

Этап 3.2

Производная $\sec (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\sec (u_{1}) \tan (u_{1})$ .

$4 (\tan (5 x) (\sec (u_{1}) \tan (u_{1}) \frac{d}{d x} [5 x]) + \sec (5 x) \frac{d}{d x} [\tan (5 x)])$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $5 x$ .

$4 (\tan (5 x) (\sec (5 x) \tan (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]) + \sec (5 x) \frac{d}{d x} [\tan (5 x)])$

Этап 4

Возведем $\tan (5 x)$ в степень $1$ .

$4 (\tan^{1} (5 x) \tan (5 x) (\sec (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]) + \sec (5 x) \frac{d}{d x} [\tan (5 x)])$

Этап 5

Возведем $\tan (5 x)$ в степень $1$ .

$4 (\tan^{1} (5 x) \tan^{1} (5 x) (\sec (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]) + \sec (5 x) \frac{d}{d x} [\tan (5 x)])$

Этап 6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 ({\tan (5 x)}^{1 + 1} (\sec (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]) + \sec (5 x) \frac{d}{d x} [\tan (5 x)])$

Этап 7

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Добавим $1$ и $1$ .

$4 (\tan^{2} (5 x) (\sec (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]) + \sec (5 x) \frac{d}{d x} [\tan (5 x)])$

Этап 7.2

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 (\tan^{2} (5 x) \sec (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]) + \sec (5 x) \frac{d}{d x} [\tan (5 x)])$

Этап 7.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 (\tan^{2} (5 x) \sec (5 x) (5 \cdot 1) + \sec (5 x) \frac{d}{d x} [\tan (5 x)])$

Этап 7.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Умножим $5$ на $1$ .

$4 (\tan^{2} (5 x) \sec (5 x) \cdot 5 + \sec (5 x) \frac{d}{d x} [\tan (5 x)])$

Этап 7.4.2

Перенесем $5$ влево от $\tan^{2} (5 x) \sec (5 x)$ .

$4 (5 \cdot (\tan^{2} (5 x) \sec (5 x)) + \sec (5 x) \frac{d}{d x} [\tan (5 x)])$

Этап 8

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $5 x$ .

$4 (5 \tan^{2} (5 x) \sec (5 x) + \sec (5 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x]))$

Этап 8.2

Производная $\tan (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\sec^{2} (u_{2})$ .

$4 (5 \tan^{2} (5 x) \sec (5 x) + \sec (5 x) (\sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [5 x]))$

Этап 8.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $5 x$ .

$4 (5 \tan^{2} (5 x) \sec (5 x) + \sec (5 x) (\sec^{2} (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]))$

Этап 9

Возведем $\sec (5 x)$ в степень $1$ .

$4 (5 \tan^{2} (5 x) \sec (5 x) + \sec^{2} (5 x) \sec^{1} (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])$

Этап 10

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 (5 \tan^{2} (5 x) \sec (5 x) + {\sec (5 x)}^{2 + 1} \frac{d}{d x} [5 x])$

Этап 11

Добавим $2$ и $1$ .

$4 (5 \tan^{2} (5 x) \sec (5 x) + \sec^{3} (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])$

Этап 12

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 (5 \tan^{2} (5 x) \sec (5 x) + \sec^{3} (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 13

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 (5 \tan^{2} (5 x) \sec (5 x) + \sec^{3} (5 x) (5 \cdot 1))$

Этап 14

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Умножим $5$ на $1$ .

$4 (5 \tan^{2} (5 x) \sec (5 x) + \sec^{3} (5 x) \cdot 5)$

Этап 14.2

Перенесем $5$ влево от $\sec^{3} (5 x)$ .

$4 (5 \tan^{2} (5 x) \sec (5 x) + 5 \cdot \sec^{3} (5 x))$

Этап 15

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 (5 \tan^{2} (5 x) \sec (5 x)) + 4 (5 \sec^{3} (5 x))$

Этап 15.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Умножим $5$ на $4$ .

$20 (\tan^{2} (5 x) \sec (5 x)) + 4 (5 \sec^{3} (5 x))$

Этап 15.2.2

Умножим $5$ на $4$ .

$20 \tan^{2} (5 x) \sec (5 x) + 20 \sec^{3} (5 x)$