Математический анализ Примеры

$4 x \sqrt{64 - x^{2}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{64 - x^{2}}$ в виде ${(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [4 x {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 1.2

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$4 (x \frac{d}{d x} [{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}] + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = 64 - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $64 - x^{2}$ .

$4 (x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [64 - x^{2}]) + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$4 (x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [64 - x^{2}]) + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u$ на $64 - x^{2}$ .

$4 (x (\frac{1}{2} {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [64 - x^{2}]) + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$4 (x (\frac{1}{2} {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [64 - x^{2}]) + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$4 (x (\frac{1}{2} {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [64 - x^{2}]) + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 6

Объединим числители над общим знаменателем.

$4 (x (\frac{1}{2} {(64 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [64 - x^{2}]) + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$4 (x (\frac{1}{2} {(64 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [64 - x^{2}]) + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 7.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$4 (x (\frac{1}{2} {(64 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [64 - x^{2}]) + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 8

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$4 (x (\frac{1}{2} {(64 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [64 - x^{2}]) + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 8.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(64 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$4 (x (\frac{{(64 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [64 - x^{2}]) + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 8.3

Перенесем ${(64 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 (x (\frac{1}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [64 - x^{2}]) + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 8.4

Объединим $\frac{1}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ и $x$ .

$4 (\frac{x}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [64 - x^{2}] + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 9

По правилу суммы производная $64 - x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [64] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$4 (\frac{x}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [64] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 10

Поскольку $64$ является константой относительно $x$ , производная $64$ относительно $x$ равна $0$ .

$4 (\frac{x}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 11

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$4 (\frac{x}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}] + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 12

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 (\frac{x}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}]) + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 13

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$4 (\frac{x}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 x)) + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 14

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$4 (\frac{x}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x) + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 14.2

Объединим $- 2$ и $\frac{x}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$4 (\frac{- 2 x}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 14.3

Объединим $\frac{- 2 x}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ и $x$ .

$4 (\frac{- 2 x \cdot x}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 15

Возведем $x$ в степень $1$ .

$4 (\frac{- 2 (x^{1} x)}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 16

Возведем $x$ в степень $1$ .

$4 (\frac{- 2 (x^{1} x^{1})}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 17

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 (\frac{- 2 x^{1 + 1}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 18

Добавим $1$ и $1$ .

$4 (\frac{- 2 x^{2}}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 19

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x^{2}$ .

$4 (\frac{2 (- x^{2})}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 20

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.1

Вынесем множитель $2$ из $2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$4 (\frac{2 (- x^{2})}{2 ({(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})} + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 20.2

Сократим общий множитель.

$4 (\frac{2 (- x^{2})}{2 {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 20.3

Перепишем это выражение.

$4 (\frac{- x^{2}}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 21

Вынесем знак минуса перед дробью.

$4 (- \frac{x^{2}}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 22

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 (- \frac{x^{2}}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

Этап 23

Умножим ${(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$4 (- \frac{x^{2}}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Этап 24

Чтобы записать ${(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$4 (- \frac{x^{2}}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Этап 25

Объединим числители над общим знаменателем.

$4 \frac{- x^{2} + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 26

Умножим ${(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ на ${(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 26.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 \frac{- x^{2} + {(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 26.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$4 \frac{- x^{2} + {(64 - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 26.3

Добавим $1$ и $1$ .

$4 \frac{- x^{2} + {(64 - x^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 26.4

Разделим $2$ на $2$ .

$4 \frac{- x^{2} + {(64 - x^{2})}^{1}}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 27

Упростим ${(64 - x^{2})}^{1}$ .

$4 \frac{- x^{2} + 64 - x^{2}}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 28

Вычтем $x^{2}$ из $- x^{2}$ .

$4 \frac{- 2 x^{2} + 64}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 29

Объединим $4$ и $\frac{- 2 x^{2} + 64}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{4 (- 2 x^{2} + 64)}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 30

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 30.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 (- 2 x^{2}) + 4 \cdot 64}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 30.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 30.2.1

Умножим $- 2$ на $4$ .

$\frac{- 8 x^{2} + 4 \cdot 64}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 30.2.2

Умножим $4$ на $64$ .

$\frac{- 8 x^{2} + 256}{{(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 30.3

Изменим порядок членов.

$\frac{- 8 x^{2} + 256}{{(- x^{2} + 64)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 30.4

Вынесем множитель $8$ из $- 8 x^{2} + 256$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 30.4.1

Вынесем множитель $8$ из $- 8 x^{2}$ .

$\frac{8 (- x^{2}) + 256}{{(- x^{2} + 64)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 30.4.2

Вынесем множитель $8$ из $256$ .

$\frac{8 (- x^{2}) + 8 (32)}{{(- x^{2} + 64)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 30.4.3

Вынесем множитель $8$ из $8 (- x^{2}) + 8 (32)$ .

$\frac{8 (- x^{2} + 32)}{{(- x^{2} + 64)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 30.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2}$ .

$\frac{8 (- (x^{2}) + 32)}{{(- x^{2} + 64)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 30.6

Перепишем $32$ в виде $- 1 (- 32)$ .

$\frac{8 (- (x^{2}) - 1 (- 32))}{{(- x^{2} + 64)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 30.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2}) - 1 (- 32)$ .

$\frac{8 (- (x^{2} - 32))}{{(- x^{2} + 64)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 30.8

Перепишем $- (x^{2} - 32)$ в виде $- 1 (x^{2} - 32)$ .

$\frac{8 (- 1 (x^{2} - 32))}{{(- x^{2} + 64)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 30.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{8 (x^{2} - 32)}{{(- x^{2} + 64)}^{\frac{1}{2}}}$