Математический анализ Примеры

$5 x^{4} (x^{3} - 4)$

Этап 1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x^{4} (x^{3} - 4)$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x^{4} (x^{3} - 4)]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{4} (x^{3} - 4)]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{4}$ и $g (x) = x^{3} - 4$ .

$5 (x^{4} \frac{d}{d x} [x^{3} - 4] + (x^{3} - 4) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $x^{3} - 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$5 (x^{4} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (x^{3} - 4) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$5 (x^{4} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4]) + (x^{3} - 4) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Этап 3.3

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4$ относительно $x$ равна $0$ .

$5 (x^{4} (3 x^{2} + 0) + (x^{3} - 4) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Этап 3.4

Добавим $3 x^{2}$ и $0$ .

$5 (x^{4} (3 x^{2}) + (x^{3} - 4) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Этап 4

Умножим $x^{4}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перенесем $x^{2}$ .

$5 (x^{2} x^{4} \cdot 3 + (x^{3} - 4) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Этап 4.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$5 (x^{2 + 4} \cdot 3 + (x^{3} - 4) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Этап 4.3

Добавим $2$ и $4$ .

$5 (x^{6} \cdot 3 + (x^{3} - 4) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Этап 5

Перенесем $3$ влево от $x^{6}$ .

$5 (3 \cdot x^{6} + (x^{3} - 4) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Этап 6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$5 (3 x^{6} + (x^{3} - 4) (4 x^{3}))$

Этап 7

Перенесем $4$ влево от $x^{3} - 4$ .

$5 (3 x^{6} + 4 \cdot (x^{3} - 4) x^{3})$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$5 (3 x^{6} + (4 x^{3} + 4 \cdot - 4) x^{3})$

Этап 8.2

Применим свойство дистрибутивности.

$5 (3 x^{6} + 4 x^{3} x^{3} + 4 \cdot - 4 x^{3})$

Этап 8.3

Применим свойство дистрибутивности.

$5 (3 x^{6}) + 5 (4 x^{3} x^{3}) + 5 (4 \cdot - 4 x^{3})$

Этап 8.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Умножим $3$ на $5$ .

$15 x^{6} + 5 (4 x^{3} x^{3}) + 5 (4 \cdot - 4 x^{3})$

Этап 8.4.2

Умножим $x^{3}$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.1

Перенесем $x^{3}$ .

$15 x^{6} + 5 (4 (x^{3} x^{3})) + 5 (4 \cdot - 4 x^{3})$

Этап 8.4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$15 x^{6} + 5 (4 x^{3 + 3}) + 5 (4 \cdot - 4 x^{3})$

Этап 8.4.2.3

Добавим $3$ и $3$ .

$15 x^{6} + 5 (4 x^{6}) + 5 (4 \cdot - 4 x^{3})$

Этап 8.4.3

Умножим $4$ на $5$ .

$15 x^{6} + 20 x^{6} + 5 (4 \cdot - 4 x^{3})$

Этап 8.4.4

Умножим $4$ на $- 4$ .

$15 x^{6} + 20 x^{6} + 5 (- 16 x^{3})$

Этап 8.4.5

Умножим $- 16$ на $5$ .

$15 x^{6} + 20 x^{6} - 80 x^{3}$

Этап 8.4.6

Добавим $15 x^{6}$ и $20 x^{6}$ .

$35 x^{6} - 80 x^{3}$