Математический анализ Примеры

$5 \cos (x) \cot (x)$

Этап 1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 \cos (x) \cot (x)$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [\cos (x) \cot (x)]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\cos (x) \cot (x)]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \cos (x)$ и $g (x) = \cot (x)$ .

$5 (\cos (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)] + \cot (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Этап 3

Производная $\cot (x)$ по $x$ равна $- \csc^{2} (x)$ .

$5 (\cos (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Этап 4

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$5 (\cos (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (- \sin (x)))$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$5 (\cos (x) (- \csc^{2} (x))) + 5 (\cot (x) (- \sin (x)))$

Этап 5.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$- 5 (\cos (x) (\csc^{2} (x))) + 5 (\cot (x) (- \sin (x)))$

Этап 5.2.2

Умножим $- 1$ на $5$ .

$- 5 \cos (x) \csc^{2} (x) - 5 \cot (x) \sin (x)$

Этап 5.3

Изменим порядок членов.

$- 5 \csc^{2} (x) \cos (x) - 5 \cot (x) \sin (x)$

Этап 5.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Выразим $\csc (x)$ через синусы и косинусы.

$- 5 {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} \cos (x) - 5 \cot (x) \sin (x)$

Этап 5.4.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$- 5 \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} \cos (x) - 5 \cot (x) \sin (x)$

Этап 5.4.3

Единица в любой степени равна единице.

$- 5 \frac{1}{\sin^{2} (x)} \cos (x) - 5 \cot (x) \sin (x)$

Этап 5.4.4

Объединим $- 5$ и $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ .

$\frac{- 5}{\sin^{2} (x)} \cos (x) - 5 \cot (x) \sin (x)$

Этап 5.4.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{5}{\sin^{2} (x)} \cos (x) - 5 \cot (x) \sin (x)$

Этап 5.4.6

Объединим $\cos (x)$ и $\frac{5}{\sin^{2} (x)}$ .

$- \frac{\cos (x) \cdot 5}{\sin^{2} (x)} - 5 \cot (x) \sin (x)$

Этап 5.4.7

Перенесем $5$ влево от $\cos (x)$ .

$- \frac{5 \cdot \cos (x)}{\sin^{2} (x)} - 5 \cot (x) \sin (x)$

Этап 5.4.8

Выразим через синусы и косинусы, затем сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.8.1

Добавим круглые скобки.

$- \frac{5 \cos (x)}{\sin^{2} (x)} - 5 (\cot (x) \sin (x))$

Этап 5.4.8.2

Выразим $- 5 \cot (x) \sin (x)$ через синусы и косинусы.

$- \frac{5 \cos (x)}{\sin^{2} (x)} - 5 (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \sin (x))$

Этап 5.4.8.3

Сократим общие множители.

$- \frac{5 \cos (x)}{\sin^{2} (x)} - 5 \cos (x)$

Этап 5.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $\sin^{2} (x)$ .

$- \frac{5 \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} - 5 \cos (x)$

Этап 5.5.2

Разделим дроби.

$- (\frac{5}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) - 5 \cos (x)$

Этап 5.5.3

Переведем $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ в $\cot (x)$ .

$- (\frac{5}{\sin (x)} \cot (x)) - 5 \cos (x)$

Этап 5.5.4

Разделим дроби.

$- (\frac{5}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x)} \cot (x)) - 5 \cos (x)$

Этап 5.5.5

Переведем $\frac{1}{\sin (x)}$ в $\csc (x)$ .

$- (\frac{5}{1} \csc (x) \cot (x)) - 5 \cos (x)$

Этап 5.5.6

Разделим $5$ на $1$ .

$- (5 \csc (x) \cot (x)) - 5 \cos (x)$

Этап 5.5.7

Умножим $5$ на $- 1$ .

$- 5 \csc (x) \cot (x) - 5 \cos (x)$