Математический анализ Примеры

$13 x e^{- \frac{x}{8}}$

Этап 1

Поскольку $13$ является константой относительно $x$ , производная $13 x e^{- \frac{x}{8}}$ по $x$ равна $13 \frac{d}{d x} [x e^{- \frac{x}{8}}]$ .

$13 \frac{d}{d x} [x e^{- \frac{x}{8}}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = e^{- \frac{x}{8}}$ .

$13 (x \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x}{8}}] + e^{- \frac{x}{8}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = - \frac{x}{8}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- \frac{x}{8}$ .

$13 (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{x}{8}]) + e^{- \frac{x}{8}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$13 (x (e^{u} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{8}]) + e^{- \frac{x}{8}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u$ на $- \frac{x}{8}$ .

$13 (x (e^{- \frac{x}{8}} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{8}]) + e^{- \frac{x}{8}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $- \frac{1}{8}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{x}{8}$ по $x$ равна $- \frac{1}{8} \frac{d}{d x} [x]$ .

$13 (x (e^{- \frac{x}{8}} (- \frac{1}{8} \frac{d}{d x} [x])) + e^{- \frac{x}{8}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Объединим $e^{- \frac{x}{8}}$ и $\frac{1}{8}$ .

$13 (x (- \frac{e^{- \frac{x}{8}}}{8} \frac{d}{d x} [x]) + e^{- \frac{x}{8}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.2.2

Объединим $x$ и $\frac{e^{- \frac{x}{8}}}{8}$ .

$13 (- \frac{x e^{- \frac{x}{8}}}{8} \frac{d}{d x} [x] + e^{- \frac{x}{8}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$13 (- \frac{x e^{- \frac{x}{8}}}{8} \cdot 1 + e^{- \frac{x}{8}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$13 (- \frac{x e^{- \frac{x}{8}}}{8} + e^{- \frac{x}{8}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$13 (- \frac{x e^{- \frac{x}{8}}}{8} + e^{- \frac{x}{8}} \cdot 1)$

Этап 4.6

Умножим $e^{- \frac{x}{8}}$ на $1$ .

$13 (- \frac{x e^{- \frac{x}{8}}}{8} + e^{- \frac{x}{8}})$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$13 (- \frac{x e^{- \frac{x}{8}}}{8}) + 13 e^{- \frac{x}{8}}$

Этап 5.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Умножим $- 1$ на $13$ .

$- 13 \frac{x e^{- \frac{x}{8}}}{8} + 13 e^{- \frac{x}{8}}$

Этап 5.2.2

Объединим $- 13$ и $\frac{x e^{- \frac{x}{8}}}{8}$ .

$\frac{- 13 (x e^{- \frac{x}{8}})}{8} + 13 e^{- \frac{x}{8}}$

Этап 5.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{13 x e^{- \frac{x}{8}}}{8} + 13 e^{- \frac{x}{8}}$