Математический анализ Примеры

$2 \sec^{2} (2 x)$

Этап 1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 \sec^{2} (2 x)$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x)]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = \sec (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\sec (2 x)$ .

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\sec (2 x)$ .

$2 (2 \sec (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

Этап 3

Умножим $2$ на $2$ .

$4 (\sec (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

Этап 4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $2 x$ .

$4 \sec (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 4.2

Производная $\sec (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$4 \sec (2 x) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 4.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $2 x$ .

$4 \sec (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 5

Возведем $\sec (2 x)$ в степень $1$ .

$4 (\sec^{1} (2 x) \sec (2 x)) (\tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 6

Возведем $\sec (2 x)$ в степень $1$ .

$4 (\sec^{1} (2 x) \sec^{1} (2 x)) (\tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 {\sec (2 x)}^{1 + 1} (\tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 8

Добавим $1$ и $1$ .

$4 \sec^{2} (2 x) (\tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 9

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 10

Умножим $2$ на $4$ .

$8 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$8 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x) \cdot 1$

Этап 12

Умножим $8$ на $1$ .

$8 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)$