Математический анализ Примеры

$2 \sec^{2} (x^{7})$

Этап 1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 \sec^{2} (x^{7})$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x^{7})]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x^{7})]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = \sec (x^{7})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\sec (x^{7})$ .

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (x^{7})])$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sec (x^{7})])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\sec (x^{7})$ .

$2 (2 \sec (x^{7}) \frac{d}{d x} [\sec (x^{7})])$

Этап 3

Умножим $2$ на $2$ .

$4 (\sec (x^{7}) \frac{d}{d x} [\sec (x^{7})])$

Этап 4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $x^{7}$ .

$4 \sec (x^{7}) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{7}])$

Этап 4.2

Производная $\sec (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$4 \sec (x^{7}) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

Этап 4.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x^{7}$ .

$4 \sec (x^{7}) (\sec (x^{7}) \tan (x^{7}) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

Этап 5

Возведем $\sec (x^{7})$ в степень $1$ .

$4 (\sec^{1} (x^{7}) \sec (x^{7})) (\tan (x^{7}) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

Этап 6

Возведем $\sec (x^{7})$ в степень $1$ .

$4 (\sec^{1} (x^{7}) \sec^{1} (x^{7})) (\tan (x^{7}) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

Этап 7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 {\sec (x^{7})}^{1 + 1} (\tan (x^{7}) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

Этап 8

Добавим $1$ и $1$ .

$4 \sec^{2} (x^{7}) (\tan (x^{7}) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

Этап 9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 7$ .

$4 \sec^{2} (x^{7}) \tan (x^{7}) (7 x^{6})$

Этап 10

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Умножим $7$ на $4$ .

$28 \sec^{2} (x^{7}) \tan (x^{7}) x^{6}$

Этап 10.2

Изменим порядок множителей в $28 \sec^{2} (x^{7}) \tan (x^{7}) x^{6}$ .

$28 x^{6} \sec^{2} (x^{7}) \tan (x^{7})$