Математический анализ Примеры

$1 - \arctan (e^{x})$

Этап 1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $1 - \arctan (e^{x})$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \arctan (e^{x})]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \arctan (e^{x})]$

Этап 1.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \arctan (e^{x})]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \arctan (e^{x})]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \arctan (e^{x})$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\arctan (e^{x})]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [\arctan (e^{x})]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \arctan (x)$ и $g (x) = e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $e^{x}$ .

$0 - (\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Этап 2.2.2

Производная $\arctan (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$0 - (\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $e^{x}$ .

$0 - (\frac{1}{1 + {(e^{x})}^{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$0 - (\frac{1}{1 + {(e^{x})}^{2}} e^{x})$

Этап 2.4

Перемножим экспоненты в ${(e^{x})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 - (\frac{1}{1 + e^{x \cdot 2}} e^{x})$

Этап 2.4.2

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$0 - (\frac{1}{1 + e^{2 x}} e^{x})$

Этап 2.5

Объединим $\frac{1}{1 + e^{2 x}}$ и $e^{x}$ .

$0 - \frac{e^{x}}{1 + e^{2 x}}$

Этап 3

Вычтем $\frac{e^{x}}{1 + e^{2 x}}$ из $0$ .

$- \frac{e^{x}}{1 + e^{2 x}}$