Математический анализ Примеры

$16 {(x^{2} + y^{2})}^{2}$

Этап 1

Поскольку $16$ является константой относительно $x$ , производная $16 {(x^{2} + y^{2})}^{2}$ по $x$ равна $16 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{2}]$ .

$16 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{2}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = x^{2} + y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} + y^{2}$ .

$16 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$16 (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + y^{2}$ .

$16 (2 (x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $2$ на $16$ .

$32 ((x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Этап 3.2

По правилу суммы производная $x^{2} + y^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$32 (x^{2} + y^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$32 (x^{2} + y^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Этап 3.4

Поскольку $y^{2}$ является константой относительно $x$ , производная $y^{2}$ относительно $x$ равна $0$ .

$32 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 0)$

Этап 3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$32 (x^{2} + y^{2}) (2 x)$

Этап 3.5.2

Умножим $2$ на $32$ .

$64 (x^{2} + y^{2}) x$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(64 x^{2} + 64 y^{2}) x$

Этап 4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$64 x^{2} x + 64 y^{2} x$

Этап 4.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$64 (x^{1} x^{2}) + 64 y^{2} x$

Этап 4.3.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$64 x^{1 + 2} + 64 y^{2} x$

Этап 4.3.3

Добавим $1$ и $2$ .

$64 x^{3} + 64 y^{2} x$