Математический анализ Примеры

$\frac{x - 5}{x^{5}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x - 5$ и $g (x) = x^{5}$ .

$\frac{x^{5} \frac{d}{d x} [x - 5] - (x - 5) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{{(x^{5})}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{5})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{5} \frac{d}{d x} [x - 5] - (x - 5) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{5 \cdot 2}}$

Этап 2.1.2

Умножим $5$ на $2$ .

$\frac{x^{5} \frac{d}{d x} [x - 5] - (x - 5) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Этап 2.2

По правилу суммы производная $x - 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{x^{5} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]) - (x - 5) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{x^{5} (1 + \frac{d}{d x} [- 5]) - (x - 5) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Этап 2.4

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{x^{5} (1 + 0) - (x - 5) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Этап 2.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{x^{5} \cdot 1 - (x - 5) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Этап 2.5.2

Умножим $x^{5}$ на $1$ .

$\frac{x^{5} - (x - 5) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Этап 2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$\frac{x^{5} - (x - 5) (5 x^{4})}{x^{10}}$

Этап 2.7

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Умножим $5$ на $- 1$ .

$\frac{x^{5} - 5 (x - 5) x^{4}}{x^{10}}$

Этап 2.7.2

Вынесем множитель $x^{4}$ из $x^{5} - 5 (x - 5) x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.1

Вынесем множитель $x^{4}$ из $x^{5}$ .

$\frac{x^{4} x - 5 (x - 5) x^{4}}{x^{10}}$

Этап 2.7.2.2

Вынесем множитель $x^{4}$ из $- 5 (x - 5) x^{4}$ .

$\frac{x^{4} x + x^{4} (- 5 (x - 5))}{x^{10}}$

Этап 2.7.2.3

Вынесем множитель $x^{4}$ из $x^{4} x + x^{4} (- 5 (x - 5))$ .

$\frac{x^{4} (x - 5 (x - 5))}{x^{10}}$

Этап 3

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $x^{4}$ из $x^{10}$ .

$\frac{x^{4} (x - 5 (x - 5))}{x^{4} x^{6}}$

Этап 3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{4} (x - 5 (x - 5))}{x^{4} x^{6}}$

Этап 3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{x - 5 (x - 5)}{x^{6}}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x - 5 x - 5 \cdot - 5}{x^{6}}$

Этап 4.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Умножим $- 5$ на $- 5$ .

$\frac{x - 5 x + 25}{x^{6}}$

Этап 4.2.2

Вычтем $5 x$ из $x$ .

$\frac{- 4 x + 25}{x^{6}}$

Этап 4.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 4 x$ .

$\frac{- (4 x) + 25}{x^{6}}$

Этап 4.4

Перепишем $25$ в виде $- 1 (- 25)$ .

$\frac{- (4 x) - 1 (- 25)}{x^{6}}$

Этап 4.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (4 x) - 1 (- 25)$ .

$\frac{- (4 x - 25)}{x^{6}}$

Этап 4.6

Перепишем $- (4 x - 25)$ в виде $- 1 (4 x - 25)$ .

$\frac{- 1 (4 x - 25)}{x^{6}}$

Этап 4.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{4 x - 25}{x^{6}}$