Математический анализ Примеры

$\frac{x y}{4 x + 5 y}$

Этап 1

Поскольку $y$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x y}{4 x + 5 y}$ по $x$ равна $y \frac{d}{d x} [\frac{x}{4 x + 5 y}]$ .

$y \frac{d}{d x} [\frac{x}{4 x + 5 y}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = 4 x + 5 y$ .

$y \frac{(4 x + 5 y) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [4 x + 5 y]}{{(4 x + 5 y)}^{2}}$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$y \frac{(4 x + 5 y) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [4 x + 5 y]}{{(4 x + 5 y)}^{2}}$

Этап 3.2

Умножим $4 x + 5 y$ на $1$ .

$y \frac{4 x + 5 y - x \frac{d}{d x} [4 x + 5 y]}{{(4 x + 5 y)}^{2}}$

Этап 3.3

По правилу суммы производная $4 x + 5 y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5 y]$ .

$y \frac{4 x + 5 y - x (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5 y])}{{(4 x + 5 y)}^{2}}$

Этап 3.4

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y \frac{4 x + 5 y - x (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5 y])}{{(4 x + 5 y)}^{2}}$

Этап 3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$y \frac{4 x + 5 y - x (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5 y])}{{(4 x + 5 y)}^{2}}$

Этап 3.6

Умножим $4$ на $1$ .

$y \frac{4 x + 5 y - x (4 + \frac{d}{d x} [5 y])}{{(4 x + 5 y)}^{2}}$

Этап 3.7

Поскольку $5 y$ является константой относительно $x$ , производная $5 y$ относительно $x$ равна $0$ .

$y \frac{4 x + 5 y - x (4 + 0)}{{(4 x + 5 y)}^{2}}$

Этап 3.8

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Добавим $4$ и $0$ .

$y \frac{4 x + 5 y - x \cdot 4}{{(4 x + 5 y)}^{2}}$

Этап 3.8.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$y \frac{4 x + 5 y - 4 x}{{(4 x + 5 y)}^{2}}$

Этап 3.8.3

Вычтем $4 x$ из $4 x$ .

$y \frac{5 y + 0}{{(4 x + 5 y)}^{2}}$

Этап 3.8.4

Добавим $5 y$ и $0$ .

$y \frac{5 y}{{(4 x + 5 y)}^{2}}$

Этап 3.8.5

Объединим $y$ и $\frac{5 y}{{(4 x + 5 y)}^{2}}$ .

$\frac{y (5 y)}{{(4 x + 5 y)}^{2}}$

Этап 4

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\frac{5 (y^{1} y)}{{(4 x + 5 y)}^{2}}$

Этап 5

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\frac{5 (y^{1} y^{1})}{{(4 x + 5 y)}^{2}}$

Этап 6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{5 y^{1 + 1}}{{(4 x + 5 y)}^{2}}$

Этап 7

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{5 y^{2}}{{(4 x + 5 y)}^{2}}$