Математический анализ Примеры

$\frac{x - 4}{x^{2} - 3 x - 4}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x - 4$ и $g (x) = x^{2} - 3 x - 4$ .

$\frac{(x^{2} - 3 x - 4) \frac{d}{d x} [x - 4] - (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x - 4]}{{(x^{2} - 3 x - 4)}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $x - 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{(x^{2} - 3 x - 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x - 4]}{{(x^{2} - 3 x - 4)}^{2}}$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} - 3 x - 4) (1 + \frac{d}{d x} [- 4]) - (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x - 4]}{{(x^{2} - 3 x - 4)}^{2}}$

Этап 2.3

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(x^{2} - 3 x - 4) (1 + 0) - (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x - 4]}{{(x^{2} - 3 x - 4)}^{2}}$

Этап 2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{(x^{2} - 3 x - 4) \cdot 1 - (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x - 4]}{{(x^{2} - 3 x - 4)}^{2}}$

Этап 2.4.2

Умножим $x^{2} - 3 x - 4$ на $1$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 4 - (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x - 4]}{{(x^{2} - 3 x - 4)}^{2}}$

Этап 2.5

По правилу суммы производная $x^{2} - 3 x - 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 4 - (x - 4) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x^{2} - 3 x - 4)}^{2}}$

Этап 2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 4 - (x - 4) (2 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x^{2} - 3 x - 4)}^{2}}$

Этап 2.7

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 4 - (x - 4) (2 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x^{2} - 3 x - 4)}^{2}}$

Этап 2.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 4 - (x - 4) (2 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x^{2} - 3 x - 4)}^{2}}$

Этап 2.9

Умножим $- 3$ на $1$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 4 - (x - 4) (2 x - 3 + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x^{2} - 3 x - 4)}^{2}}$

Этап 2.10

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 4 - (x - 4) (2 x - 3 + 0)}{{(x^{2} - 3 x - 4)}^{2}}$

Этап 2.11

Добавим $2 x - 3$ и $0$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 4 - (x - 4) (2 x - 3)}{{(x^{2} - 3 x - 4)}^{2}}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{2} - 3 x - 4 + (- x - - 4) (2 x - 3)}{{(x^{2} - 3 x - 4)}^{2}}$

Этап 3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 4 + (- x + 4) (2 x - 3)}{{(x^{2} - 3 x - 4)}^{2}}$

Этап 3.2.1.2

Развернем $(- x + 4) (2 x - 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{2} - 3 x - 4 - x (2 x - 3) + 4 (2 x - 3)}{{(x^{2} - 3 x - 4)}^{2}}$

Этап 3.2.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{2} - 3 x - 4 - x (2 x) - x \cdot - 3 + 4 (2 x - 3)}{{(x^{2} - 3 x - 4)}^{2}}$

Этап 3.2.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{2} - 3 x - 4 - x (2 x) - x \cdot - 3 + 4 (2 x) + 4 \cdot - 3}{{(x^{2} - 3 x - 4)}^{2}}$

Этап 3.2.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{x^{2} - 3 x - 4 - 1 \cdot 2 x \cdot x - x \cdot - 3 + 4 (2 x) + 4 \cdot - 3}{{(x^{2} - 3 x - 4)}^{2}}$

Этап 3.2.1.3.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.1.2.1

Перенесем $x$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 4 - 1 \cdot 2 (x \cdot x) - x \cdot - 3 + 4 (2 x) + 4 \cdot - 3}{{(x^{2} - 3 x - 4)}^{2}}$

Этап 3.2.1.3.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 4 - 1 \cdot 2 x^{2} - x \cdot - 3 + 4 (2 x) + 4 \cdot - 3}{{(x^{2} - 3 x - 4)}^{2}}$

Этап 3.2.1.3.1.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 4 - 2 x^{2} - x \cdot - 3 + 4 (2 x) + 4 \cdot - 3}{{(x^{2} - 3 x - 4)}^{2}}$

Этап 3.2.1.3.1.4

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 4 - 2 x^{2} + 3 x + 4 (2 x) + 4 \cdot - 3}{{(x^{2} - 3 x - 4)}^{2}}$

Этап 3.2.1.3.1.5

Умножим $2$ на $4$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 4 - 2 x^{2} + 3 x + 8 x + 4 \cdot - 3}{{(x^{2} - 3 x - 4)}^{2}}$

Этап 3.2.1.3.1.6

Умножим $4$ на $- 3$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 4 - 2 x^{2} + 3 x + 8 x - 12}{{(x^{2} - 3 x - 4)}^{2}}$

Этап 3.2.1.3.2

Добавим $3 x$ и $8 x$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 4 - 2 x^{2} + 11 x - 12}{{(x^{2} - 3 x - 4)}^{2}}$

Этап 3.2.2

Вычтем $2 x^{2}$ из $x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} - 3 x - 4 + 11 x - 12}{{(x^{2} - 3 x - 4)}^{2}}$

Этап 3.2.3

Добавим $- 3 x$ и $11 x$ .

$\frac{- x^{2} + 8 x - 4 - 12}{{(x^{2} - 3 x - 4)}^{2}}$

Этап 3.2.4

Вычтем $12$ из $- 4$ .

$\frac{- x^{2} + 8 x - 16}{{(x^{2} - 3 x - 4)}^{2}}$

Этап 3.3

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 1 \cdot - 16 = 16$ , а сумма — $b = 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Вынесем множитель $8$ из $8 x$ .

$\frac{- x^{2} + 8 (x) - 16}{{(x^{2} - 3 x - 4)}^{2}}$

Этап 3.3.1.2

Запишем $8$ как $4$ плюс $4$

$\frac{- x^{2} + (4 + 4) x - 16}{{(x^{2} - 3 x - 4)}^{2}}$

Этап 3.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- x^{2} + 4 x + 4 x - 16}{{(x^{2} - 3 x - 4)}^{2}}$

Этап 3.3.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{(- x^{2} + 4 x) + 4 x - 16}{{(x^{2} - 3 x - 4)}^{2}}$

Этап 3.3.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{x (- x + 4) - 4 (- x + 4)}{{(x^{2} - 3 x - 4)}^{2}}$

Этап 3.3.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- x + 4$ .

$\frac{(- x + 4) (x - 4)}{{(x^{2} - 3 x - 4)}^{2}}$

Этап 3.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Разложим $x^{2} - 3 x - 4$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 4$ , а сумма — $- 3$ .

$- 4, 1$

Этап 3.4.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{(- x + 4) (x - 4)}{{((x - 4) (x + 1))}^{2}}$

Этап 3.4.2

Применим правило умножения к $(x - 4) (x + 1)$ .

$\frac{(- x + 4) (x - 4)}{{(x - 4)}^{2} {(x + 1)}^{2}}$

Этап 3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$\frac{(- (x) + 4) (x - 4)}{{(x - 4)}^{2} {(x + 1)}^{2}}$

Этап 3.5.2

Перепишем $4$ в виде $- 1 (- 4)$ .

$\frac{(- (x) - 1 (- 4)) (x - 4)}{{(x - 4)}^{2} {(x + 1)}^{2}}$

Этап 3.5.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - 1 (- 4)$ .

$\frac{- (x - 4) (x - 4)}{{(x - 4)}^{2} {(x + 1)}^{2}}$

Этап 3.5.4

Перепишем $- (x - 4)$ в виде $- 1 (x - 4)$ .

$\frac{- 1 (x - 4) (x - 4)}{{(x - 4)}^{2} {(x + 1)}^{2}}$

Этап 3.5.5

Возведем $x - 4$ в степень $1$ .

$\frac{- 1 ({(x - 4)}^{1} (x - 4))}{{(x - 4)}^{2} {(x + 1)}^{2}}$

Этап 3.5.6

Возведем $x - 4$ в степень $1$ .

$\frac{- 1 ({(x - 4)}^{1} {(x - 4)}^{1})}{{(x - 4)}^{2} {(x + 1)}^{2}}$

Этап 3.5.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- 1 {(x - 4)}^{1 + 1}}{{(x - 4)}^{2} {(x + 1)}^{2}}$

Этап 3.5.8

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{- 1 {(x - 4)}^{2}}{{(x - 4)}^{2} {(x + 1)}^{2}}$

Этап 3.6

Сократим общий множитель ${(x - 4)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1 {(x - 4)}^{2}}{{(x - 4)}^{2} {(x + 1)}^{2}}$

Этап 3.6.2

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 3.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$