Математический анализ Примеры

$\frac{x + 6}{\sqrt{x^{2} + 6}}$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x^{2} + 6}$ в виде ${(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x + 6}{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x + 6$ и $g (x) = {(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 6] - (x + 6) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 3

Перемножим экспоненты в ${({(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 6] - (x + 6) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 6] - (x + 6) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 3.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 6] - (x + 6) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{2} + 6)}^{1}}$

Этап 4

Упростим.

$\frac{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 6] - (x + 6) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}]}{x^{2} + 6}$

Этап 5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

По правилу суммы производная $x + 6$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]) - (x + 6) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}]}{x^{2} + 6}$

Этап 5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{d}{d x} [6]) - (x + 6) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}]}{x^{2} + 6}$

Этап 5.3

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} (1 + 0) - (x + 6) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}]}{x^{2} + 6}$

Этап 5.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - (x + 6) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}]}{x^{2} + 6}$

Этап 5.4.2

Умножим ${(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$\frac{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}]}{x^{2} + 6}$

Этап 6

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = x^{2} + 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $x^{2} + 6$ .

$\frac{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 6])}{x^{2} + 6}$

Этап 6.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6])}{x^{2} + 6}$

Этап 6.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x^{2} + 6$ .

$\frac{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) (\frac{1}{2} {(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6])}{x^{2} + 6}$

Этап 7

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) (\frac{1}{2} {(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6])}{x^{2} + 6}$

Этап 8

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) (\frac{1}{2} {(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6])}{x^{2} + 6}$

Этап 9

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) (\frac{1}{2} {(x^{2} + 6)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6])}{x^{2} + 6}$

Этап 10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) (\frac{1}{2} {(x^{2} + 6)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6])}{x^{2} + 6}$

Этап 10.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) (\frac{1}{2} {(x^{2} + 6)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6])}{x^{2} + 6}$

Этап 11

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) (\frac{1}{2} {(x^{2} + 6)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6])}{x^{2} + 6}$

Этап 11.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(x^{2} + 6)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) (\frac{{(x^{2} + 6)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6])}{x^{2} + 6}$

Этап 11.3

Перенесем ${(x^{2} + 6)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6])}{x^{2} + 6}$

Этап 12

По правилу суммы производная $x^{2} + 6$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]))}{x^{2} + 6}$

Этап 13

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [6]))}{x^{2} + 6}$

Этап 14

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0))}{x^{2} + 6}$

Этап 15

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$\frac{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}} (2 x))}{x^{2} + 6}$

Этап 15.2

Объединим $2$ и $\frac{1}{2 {(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) (\frac{2}{2 {(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}} x)}{x^{2} + 6}$

Этап 15.3

Объединим $\frac{2}{2 {(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}$ и $x$ .

$\frac{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) \frac{2 x}{2 {(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 6}$

Этап 15.4

Сократим общий множитель.

$\frac{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) \frac{2 x}{2 {(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 6}$

Этап 15.5

Перепишем это выражение.

$\frac{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 6) \frac{x}{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 6}$

Этап 16

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} + (- x - 1 \cdot 6) \frac{x}{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 6}$

Этап 16.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1

Пусть $u_{2} = {(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}$ . Подставим $u_{2}$ вместо ${(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}$ для всех.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1.1

Умножим $u_{2}$ на $u_{2}$ .

$\frac{\frac{{u_{2}}^{2} + (- x - 6) x}{u_{2}}}{x^{2} + 6}$

Этап 16.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\frac{{u_{2}}^{2} - x \cdot x - 6 x}{u_{2}}}{x^{2} + 6}$

Этап 16.2.1.3

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1.3.1

Перенесем $x$ .

$\frac{\frac{{u_{2}}^{2} - (x \cdot x) - 6 x}{u_{2}}}{x^{2} + 6}$

Этап 16.2.1.3.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{\frac{{u_{2}}^{2} - x^{2} - 6 x}{u_{2}}}{x^{2} + 6}$

Этап 16.2.2

Заменим все вхождения $u_{2}$ на ${(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{{({(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - x^{2} - 6 x}{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 6}$

Этап 16.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.3.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.3.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - x^{2} - 6 x}{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 6}$

Этап 16.2.3.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.3.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - x^{2} - 6 x}{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 6}$

Этап 16.2.3.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{{(x^{2} + 6)}^{1} - x^{2} - 6 x}{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 6}$

Этап 16.2.3.1.2

Упростим.

$\frac{\frac{x^{2} + 6 - x^{2} - 6 x}{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 6}$

Этап 16.2.3.2

Объединим противоположные члены в $x^{2} + 6 - x^{2} - 6 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.3.2.1

Вычтем $x^{2}$ из $x^{2}$ .

$\frac{\frac{0 + 6 - 6 x}{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 6}$

Этап 16.2.3.2.2

Добавим $0$ и $6$ .

$\frac{\frac{6 - 6 x}{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 6}$

Этап 16.2.4

Вынесем множитель $6$ из $6 - 6 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.4.1

Вынесем множитель $6$ из $6$ .

$\frac{\frac{6 (1) - 6 x}{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 6}$

Этап 16.2.4.2

Вынесем множитель $6$ из $- 6 x$ .

$\frac{\frac{6 (1) + 6 (- x)}{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 6}$

Этап 16.2.4.3

Вынесем множитель $6$ из $6 (1) + 6 (- x)$ .

$\frac{\frac{6 (1 - x)}{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 6}$

Этап 16.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.3.1

Перепишем $\frac{\frac{6 (1 - x)}{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 6}$ в виде произведения.

$\frac{6 (1 - x)}{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x^{2} + 6}$

Этап 16.3.2

Умножим $\frac{6 (1 - x)}{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}}$ на $\frac{1}{x^{2} + 6}$ .

$\frac{6 (1 - x)}{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 6)}$

Этап 16.3.3

Умножим ${(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}$ на $x^{2} + 6$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.3.3.1

Умножим ${(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}$ на $x^{2} + 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.3.3.1.1

Возведем $x^{2} + 6$ в степень $1$ .

$\frac{6 (1 - x)}{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 6)}^{1}}$

Этап 16.3.3.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{6 (1 - x)}{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

Этап 16.3.3.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{6 (1 - x)}{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Этап 16.3.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{6 (1 - x)}{{(x^{2} + 6)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Этап 16.3.3.4

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{6 (1 - x)}{{(x^{2} + 6)}^{\frac{3}{2}}}$