Математический анализ Примеры

$\int x \sin (8 x) d x$

Этап 1

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = \sin (8 x)$ .

$x (- \frac{1}{8} \cos (8 x)) - \int - \frac{1}{8} \cos (8 x) d x$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим $\cos (8 x)$ и $\frac{1}{8}$ .

$x (- \frac{\cos (8 x)}{8}) - \int - \frac{1}{8} \cos (8 x) d x$

Этап 2.2

Объединим $x$ и $\frac{\cos (8 x)}{8}$ .

$- \frac{x \cos (8 x)}{8} - \int - \frac{1}{8} \cos (8 x) d x$

Этап 3

Поскольку $- \frac{1}{8}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- \frac{1}{8}$ из-под знака интеграла.

$- \frac{x \cos (8 x)}{8} - (- \frac{1}{8} \int \cos (8 x) d x)$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- \frac{x \cos (8 x)}{8} + 1 (\frac{1}{8} \int \cos (8 x) d x)$

Этап 4.2

Умножим $\frac{1}{8}$ на $1$ .

$- \frac{x \cos (8 x)}{8} + \frac{1}{8} \int \cos (8 x) d x$

Этап 5

Пусть $u = 8 x$ . Тогда $d u = 8 d x$ , следовательно $\frac{1}{8} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть $u = 8 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Дифференцируем $8 x$ .

$\frac{d}{d x} [8 x]$

Этап 5.1.2

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 x$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 5.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$8 \cdot 1$

Этап 5.1.4

Умножим $8$ на $1$ .

$8$

Этап 5.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$- \frac{x \cos (8 x)}{8} + \frac{1}{8} \int \cos (u) \frac{1}{8} d u$

Этап 6

Объединим $\cos (u)$ и $\frac{1}{8}$ .

$- \frac{x \cos (8 x)}{8} + \frac{1}{8} \int \frac{\cos (u)}{8} d u$

Этап 7

Поскольку $\frac{1}{8}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{8}$ из-под знака интеграла.

$- \frac{x \cos (8 x)}{8} + \frac{1}{8} (\frac{1}{8} \int \cos (u) d u)$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим $\frac{1}{8}$ на $\frac{1}{8}$ .

$- \frac{x \cos (8 x)}{8} + \frac{1}{8 \cdot 8} \int \cos (u) d u$

Этап 8.2

Умножим $8$ на $8$ .

$- \frac{x \cos (8 x)}{8} + \frac{1}{64} \int \cos (u) d u$

Этап 9

Интеграл $\cos (u)$ по $u$ имеет вид $\sin (u)$ .

$- \frac{x \cos (8 x)}{8} + \frac{1}{64} (\sin (u) + C)$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Перепишем $- \frac{x \cos (8 x)}{8} + \frac{1}{64} (\sin (u) + C)$ в виде $- \frac{1}{8} x \cos (8 x) + \frac{1}{64} \sin (u) + C$ .

$- \frac{1}{8} x \cos (8 x) + \frac{1}{64} \sin (u) + C$

Этап 10.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Объединим $x$ и $\frac{1}{8}$ .

$- \frac{x}{8} \cos (8 x) + \frac{1}{64} \sin (u) + C$

Этап 10.2.2

Объединим $\cos (8 x)$ и $\frac{x}{8}$ .

$- \frac{\cos (8 x) x}{8} + \frac{1}{64} \sin (u) + C$

Этап 11

Заменим все вхождения $u$ на $8 x$ .

$- \frac{\cos (8 x) x}{8} + \frac{1}{64} \sin (8 x) + C$

Этап 12

Изменим порядок множителей в $\frac{\cos (8 x) x}{8}$ .

$- \frac{1}{8} x \cos (8 x) + \frac{1}{64} \sin (8 x) + C$