Математический анализ Примеры

$x^{3} \sin (3 x^{2})$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = \sin (3 x^{2})$ .

$x^{3} \frac{d}{d x} [\sin (3 x^{2})] + \sin (3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = 3 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $3 x^{2}$ .

$x^{3} (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [3 x^{2}]) + \sin (3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 2.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$x^{3} (\cos (u) \frac{d}{d x} [3 x^{2}]) + \sin (3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $3 x^{2}$ .

$x^{3} (\cos (3 x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{2}]) + \sin (3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{3} (\cos (3 x^{2}) (3 \frac{d}{d x} [x^{2}])) + \sin (3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x^{3} (\cos (3 x^{2}) (3 (2 x))) + \sin (3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 3.3

Умножим $2$ на $3$ .

$x^{3} (\cos (3 x^{2}) (6 x)) + \sin (3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 4

Умножим $x^{3}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перенесем $x$ .

$x \cdot x^{3} (\cos (3 x^{2}) \cdot (6)) + \sin (3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 4.2

Умножим $x$ на $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{1} x^{3} (\cos (3 x^{2}) \cdot (6)) + \sin (3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{1 + 3} (\cos (3 x^{2}) \cdot (6)) + \sin (3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 4.3

Добавим $1$ и $3$ .

$x^{4} (\cos (3 x^{2}) \cdot (6)) + \sin (3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 5

Перенесем $6$ влево от $\cos (3 x^{2})$ .

$x^{4} (6 \cdot \cos (3 x^{2})) + \sin (3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$x^{4} (6 \cos (3 x^{2})) + \sin (3 x^{2}) (3 x^{2})$

Этап 7

Изменим порядок членов.

$6 x^{4} \cos (3 x^{2}) + 3 x^{2} \sin (3 x^{2})$