Математический анализ Примеры

$x^{3} + {(t x)}^{3} + 3 x (t x)$

Этап 1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $x^{3} + {(t x)}^{3} + 3 x (t x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [{(t x)}^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x (t x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [{(t x)}^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x (t x)]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [{(t x)}^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x (t x)]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [{(t x)}^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = t x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $t x$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [t x] + \frac{d}{d x} [3 x (t x)]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 x^{2} + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [t x] + \frac{d}{d x} [3 x (t x)]$

Этап 2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $t x$ .

$3 x^{2} + 3 {(t x)}^{2} \frac{d}{d x} [t x] + \frac{d}{d x} [3 x (t x)]$

Этап 2.2

Поскольку $t$ является константой относительно $x$ , производная $t x$ по $x$ равна $t \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} + 3 {(t x)}^{2} (t \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [3 x (t x)]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 x^{2} + 3 {(t x)}^{2} (t \cdot 1) + \frac{d}{d x} [3 x (t x)]$

Этап 2.4

Умножим $t$ на $1$ .

$3 x^{2} + 3 {(t x)}^{2} t + \frac{d}{d x} [3 x (t x)]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x (t x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$3 x^{2} + 3 {(t x)}^{2} t + \frac{d}{d x} [3 (t (x^{1} x))]$

Этап 3.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$3 x^{2} + 3 {(t x)}^{2} t + \frac{d}{d x} [3 (t (x^{1} x^{1}))]$

Этап 3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$3 x^{2} + 3 {(t x)}^{2} t + \frac{d}{d x} [3 (t x^{1 + 1})]$

Этап 3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$3 x^{2} + 3 {(t x)}^{2} t + \frac{d}{d x} [3 (t x^{2})]$

Этап 3.5

Поскольку $3 t$ является константой относительно $x$ , производная $3 t x^{2}$ по $x$ равна $3 t \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} + 3 {(t x)}^{2} t + 3 t \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 x^{2} + 3 {(t x)}^{2} t + 3 t (2 x)$

Этап 3.7

Умножим $2$ на $3$ .

$3 x^{2} + 3 {(t x)}^{2} t + 6 t x$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим правило умножения к $t x$ .

$3 x^{2} + 3 (t^{2} x^{2}) t + 6 t x$

Этап 4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Возведем $t$ в степень $1$ .

$3 x^{2} + 3 (t^{1} t^{2}) x^{2} + 6 t x$

Этап 4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$3 x^{2} + 3 t^{1 + 2} x^{2} + 6 t x$

Этап 4.2.3

Добавим $1$ и $2$ .

$3 x^{2} + 3 t^{3} x^{2} + 6 t x$