Математический анализ Примеры

$x^{- 7 \cos (x)}$

Этап 1

Используем свойства логарифмов, чтобы упростить дифференцирование.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $x^{- 7 \cos (x)}$ в виде $e^{\ln (x^{- 7 \cos (x)})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{- 7 \cos (x)})}]$

Этап 1.2

Развернем $\ln (x^{- 7 \cos (x)})$ , вынося $- 7 \cos (x)$ из логарифма.

$\frac{d}{d x} [e^{- 7 \cos (x) \ln (x)}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = - 7 \cos (x) \ln (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- 7 \cos (x) \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 7 \cos (x) \ln (x)]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [- 7 \cos (x) \ln (x)]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $- 7 \cos (x) \ln (x)$ .

$e^{- 7 \cos (x) \ln (x)} \frac{d}{d x} [- 7 \cos (x) \ln (x)]$

Этап 3

Поскольку $- 7$ является константой относительно $x$ , производная $- 7 \cos (x) \ln (x)$ по $x$ равна $- 7 \frac{d}{d x} [\cos (x) \ln (x)]$ .

$e^{- 7 \cos (x) \ln (x)} (- 7 \frac{d}{d x} [\cos (x) \ln (x)])$

Этап 4

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \cos (x)$ и $g (x) = \ln (x)$ .

$e^{- 7 \cos (x) \ln (x)} (- 7 (\cos (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]))$

Этап 5

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$e^{- 7 \cos (x) \ln (x)} (- 7 (\cos (x) \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]))$

Этап 6

Объединим $\cos (x)$ и $\frac{1}{x}$ .

$e^{- 7 \cos (x) \ln (x)} (- 7 (\frac{\cos (x)}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]))$

Этап 7

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$e^{- 7 \cos (x) \ln (x)} (- 7 (\frac{\cos (x)}{x} + \ln (x) (- \sin (x))))$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{- 7 \cos (x) \ln (x)} (- 7 \frac{\cos (x)}{x} - 7 (\ln (x) (- \sin (x))))$

Этап 8.2

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{- 7 \cos (x) \ln (x)} (- 7 \frac{\cos (x)}{x}) + e^{- 7 \cos (x) \ln (x)} (- 7 (\ln (x) (- \sin (x))))$

Этап 8.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Объединим $- 7$ и $\frac{\cos (x)}{x}$ .

$e^{- 7 \cos (x) \ln (x)} \frac{- 7 \cos (x)}{x} + e^{- 7 \cos (x) \ln (x)} (- 7 (\ln (x) (- \sin (x))))$

Этап 8.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$e^{- 7 \cos (x) \ln (x)} (- \frac{7 \cos (x)}{x}) + e^{- 7 \cos (x) \ln (x)} (- 7 (\ln (x) (- \sin (x))))$

Этап 8.3.3

Объединим $e^{- 7 \cos (x) \ln (x)}$ и $\frac{7 \cos (x)}{x}$ .

$- \frac{e^{- 7 \cos (x) \ln (x)} (7 \cos (x))}{x} + e^{- 7 \cos (x) \ln (x)} (- 7 (\ln (x) (- \sin (x))))$

Этап 8.3.4

Перенесем $7$ влево от $e^{- 7 \cos (x) \ln (x)}$ .

$- \frac{7 \cdot e^{- 7 \cos (x) \ln (x)} \cos (x)}{x} + e^{- 7 \cos (x) \ln (x)} (- 7 (\ln (x) (- \sin (x))))$

Этап 8.3.5

Умножим $- 1$ на $- 7$ .

$- \frac{7 e^{- 7 \cos (x) \ln (x)} \cos (x)}{x} + e^{- 7 \cos (x) \ln (x)} (7 \ln (x)) \sin (x)$

Этап 8.4

Изменим порядок членов.

$7 e^{- 7 \cos (x) \ln (x)} \sin (x) \ln (x) - \frac{7 e^{- 7 \cos (x) \ln (x)} \cos (x)}{x}$