Математический анализ Примеры

$x^{\sec (x)}$

Этап 1

Используем свойства логарифмов, чтобы упростить дифференцирование.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем

$x^{\sec (x)}$ в виде

$e^{\ln (x^{\sec (x)})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{\sec (x)})}]$

Этап 1.2

Развернем

$\ln (x^{\sec (x)})$ , вынося

$\sec (x)$ из логарифма.

$\frac{d}{d x} [e^{\sec (x) \ln (x)}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид

$f' (g (x)) g' (x)$ , где

$f (x) = e^{x}$ и

$g (x) = \sec (x) \ln (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим

$u$ как

$\sec (x) \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\sec (x) \ln (x)]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что

$\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид

$a^{u} \ln (a)$ , где

$a$ =

$e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [\sec (x) \ln (x)]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения

$u$ на

$\sec (x) \ln (x)$ .

$e^{\sec (x) \ln (x)} \frac{d}{d x} [\sec (x) \ln (x)]$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что

$\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид

$f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где

$f (x) = \sec (x)$ и

$g (x) = \ln (x)$ .

$e^{\sec (x) \ln (x)} (\sec (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Этап 4

Производная

$\ln (x)$ по

$x$ равна

$\frac{1}{x}$ .

$e^{\sec (x) \ln (x)} (\sec (x) \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Этап 5

Объединим

$\sec (x)$ и

$\frac{1}{x}$ .

$e^{\sec (x) \ln (x)} (\frac{\sec (x)}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Этап 6

Производная

$\sec (x)$ по

$x$ равна

$\sec (x) \tan (x)$ .

$e^{\sec (x) \ln (x)} (\frac{\sec (x)}{x} + \ln (x) (\sec (x) \tan (x)))$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{\sec (x) \ln (x)} \frac{\sec (x)}{x} + e^{\sec (x) \ln (x)} (\ln (x) (\sec (x) \tan (x)))$

Этап 7.2

Объединим

$e^{\sec (x) \ln (x)}$ и

$\frac{\sec (x)}{x}$ .

$\frac{e^{\sec (x) \ln (x)} \sec (x)}{x} + e^{\sec (x) \ln (x)} \ln (x) \sec (x) \tan (x)$

Этап 7.3

Изменим порядок членов.

$e^{\sec (x) \ln (x)} \sec (x) \tan (x) \ln (x) + \frac{e^{\sec (x) \ln (x)} \sec (x)}{x}$