Математический анализ Примеры

$x^{e x}$

Этап 1

Используем свойства логарифмов, чтобы упростить дифференцирование.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $x^{e x}$ в виде $e^{\ln (x^{e x})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{e x})}]$

Этап 1.2

Развернем $\ln (x^{e x})$ , вынося $e x$ из логарифма.

$\frac{d}{d x} [e^{e x \ln (x)}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = e x \ln (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $e x \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [e x \ln (x)]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [e x \ln (x)]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $e x \ln (x)$ .

$e^{e x \ln (x)} \frac{d}{d x} [e x \ln (x)]$

Этап 3

Поскольку $e$ является константой относительно $x$ , производная $e x \ln (x)$ по $x$ равна $e \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$e^{e x \ln (x)} (e \frac{d}{d x} [x \ln (x)])$

Этап 4

Умножим $e^{e x \ln (x)}$ на $e$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перенесем $e$ .

$e e^{e x \ln (x)} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Этап 4.2

Умножим $e$ на $e^{e x \ln (x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Возведем $e$ в степень $1$ .

$e^{1} e^{e x \ln (x)} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Этап 4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$e^{1 + e x \ln (x)} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Этап 5

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = \ln (x)$ .

$e^{1 + e x \ln (x)} (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 6

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$e^{1 + e x \ln (x)} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 7

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим $x$ и $\frac{1}{x}$ .

$e^{1 + e x \ln (x)} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 7.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Сократим общий множитель.

$e^{1 + e x \ln (x)} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 7.2.2

Перепишем это выражение.

$e^{1 + e x \ln (x)} (1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 7.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{1 + e x \ln (x)} (1 + \ln (x) \cdot 1)$

Этап 7.4

Умножим $\ln (x)$ на $1$ .

$e^{1 + e x \ln (x)} (1 + \ln (x))$