Математический анализ Примеры

$x^{3} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}}$ .

$x^{3} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}}] + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ и $g (x) = x^{2} + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} + 3$ .

$x^{3} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]) + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{3}$ .

$x^{3} (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]) + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + 3$ .

$x^{3} (\frac{1}{3} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]) + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$x^{3} (\frac{1}{3} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]) + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 4

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$x^{3} (\frac{1}{3} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]) + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 5

Объединим числители над общим знаменателем.

$x^{3} (\frac{1}{3} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]) + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$x^{3} (\frac{1}{3} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]) + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 6.2

Вычтем $3$ из $1$ .

$x^{3} (\frac{1}{3} {(x^{2} + 3)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]) + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 7

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x^{3} (\frac{1}{3} {(x^{2} + 3)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]) + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 7.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и ${(x^{2} + 3)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$x^{3} (\frac{{(x^{2} + 3)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]) + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 7.3

Перенесем ${(x^{2} + 3)}^{- \frac{2}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{3} (\frac{1}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]) + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 7.4

Объединим $\frac{1}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$ и $x^{3}$ .

$\frac{x^{3}}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3] + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 8

По правилу суммы производная $x^{2} + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{x^{3}}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]) + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{x^{3}}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}} (2 x + \frac{d}{d x} [3]) + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 10

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{x^{3}}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}} (2 x + 0) + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 11

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$\frac{x^{3}}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}} (2 x) + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 11.2

Объединим $2$ и $\frac{x^{3}}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{2 x^{3}}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}} x + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 11.3

Объединим $\frac{2 x^{3}}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$ и $x$ .

$\frac{2 x^{3} x}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}} + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 12

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{3})}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}} + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 13

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 x^{1 + 3}}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}} + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 14

Добавим $1$ и $3$ .

$\frac{2 x^{4}}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}} + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 15

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{2 x^{4}}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}} + {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} (3 x^{2})$

Этап 16

Перенесем $3$ влево от ${(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{2 x^{4}}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}} + 3 \cdot {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} x^{2}$

Этап 17

Объединим $\frac{2 x^{4}}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$ и $3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} x^{2}$ , используя общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Перенесем ${(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{2 x^{4}}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}} + 3 x^{2} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}}$

Этап 17.2

Чтобы записать $3 x^{2} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{2 x^{4}}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}} + 3 x^{2} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 17.3

Объединим $3 x^{2} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}}$ и $\frac{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{2 x^{4}}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{3 x^{2} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 17.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 x^{4} + 3 x^{2} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 18

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{2 x^{4} + 9 x^{2} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}} {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 19

Умножим ${(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}}$ на ${(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1

Перенесем ${(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{2 x^{4} + 9 x^{2} ({(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}} {(x^{2} + 3)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 19.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 x^{4} + 9 x^{2} {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 19.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 x^{4} + 9 x^{2} {(x^{2} + 3)}^{\frac{2 + 1}{3}}}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 19.4

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{2 x^{4} + 9 x^{2} {(x^{2} + 3)}^{\frac{3}{3}}}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 19.5

Разделим $3$ на $3$ .

$\frac{2 x^{4} + 9 x^{2} {(x^{2} + 3)}^{1}}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 20

Упростим $9 x^{2} {(x^{2} + 3)}^{1}$ .

$\frac{2 x^{4} + 9 x^{2} (x^{2} + 3)}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 21

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x^{4} + 9 x^{2} x^{2} + 9 x^{2} \cdot 3}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 21.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.2.1.1

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.2.1.1.1

Перенесем $x^{2}$ .

$\frac{2 x^{4} + 9 (x^{2} x^{2}) + 9 x^{2} \cdot 3}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 21.2.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 x^{4} + 9 x^{2 + 2} + 9 x^{2} \cdot 3}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 21.2.1.1.3

Добавим $2$ и $2$ .

$\frac{2 x^{4} + 9 x^{4} + 9 x^{2} \cdot 3}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 21.2.1.2

Умножим $3$ на $9$ .

$\frac{2 x^{4} + 9 x^{4} + 27 x^{2}}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 21.2.2

Добавим $2 x^{4}$ и $9 x^{4}$ .

$\frac{11 x^{4} + 27 x^{2}}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 21.3

Вынесем множитель $x^{2}$ из $11 x^{4} + 27 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.3.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $11 x^{4}$ .

$\frac{x^{2} (11 x^{2}) + 27 x^{2}}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 21.3.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $27 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} (11 x^{2}) + x^{2} \cdot 27}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 21.3.3

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} (11 x^{2}) + x^{2} \cdot 27$ .

$\frac{x^{2} (11 x^{2} + 27)}{3 {(x^{2} + 3)}^{\frac{2}{3}}}$