Математический анализ Примеры

$x^{2} \ln (x) - 3 x e^{x}$

Этап 1

По правилу суммы производная $x^{2} \ln (x) - 3 x e^{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2} \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 3 x e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 3 x e^{x}]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x^{2} \ln (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = \ln (x)$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x e^{x}]$

Этап 2.2

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$x^{2} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x e^{x}]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x^{2} \frac{1}{x} + \ln (x) (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x e^{x}]$

Этап 2.4

Объединим $x^{2}$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{2}}{x} + \ln (x) (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x e^{x}]$

Этап 2.5

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x e^{x}]$

Этап 2.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{x \cdot x}{x^{1}} + \ln (x) (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x e^{x}]$

Этап 2.5.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x e^{x}]$

Этап 2.5.2.3

Сократим общий множитель.

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x e^{x}]$

Этап 2.5.2.4

Перепишем это выражение.

$\frac{x}{1} + \ln (x) (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x e^{x}]$

Этап 2.5.2.5

Разделим $x$ на $1$ .

$x + \ln (x) (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x e^{x}]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 x e^{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x e^{x}$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$x + \ln (x) (2 x) - 3 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Этап 3.2

$x + \ln (x) (2 x) - 3 (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$x + \ln (x) (2 x) - 3 (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x + \ln (x) (2 x) - 3 (x e^{x} + e^{x} \cdot 1)$

Этап 3.5

Умножим $e^{x}$ на $1$ .

$x + \ln (x) (2 x) - 3 (x e^{x} + e^{x})$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x + \ln (x) (2 x) - 3 (x e^{x}) - 3 e^{x}$

Этап 4.2

Избавимся от ненужных скобок.

$x + \ln (x) (2 x) - 3 x e^{x} - 3 e^{x}$

Этап 4.3

Изменим порядок членов.

$2 x \ln (x) - 3 e^{x} x + x - 3 e^{x}$

Этап 4.4

Изменим порядок множителей в $2 x \ln (x) - 3 e^{x} x + x - 3 e^{x}$ .

$2 x \ln (x) - 3 x e^{x} + x - 3 e^{x}$