Математический анализ Примеры

$x^{2} (2 x^{2} - 3 x)$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = 2 x^{2} - 3 x$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 3 x] + (2 x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $2 x^{2} - 3 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$x^{2} (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]) + (2 x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{2}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{2} (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]) + (2 x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x^{2} (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x]) + (2 x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.4

Умножим $2$ на $2$ .

$x^{2} (4 x + \frac{d}{d x} [- 3 x]) + (2 x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.5

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} (4 x - 3 \frac{d}{d x} [x]) + (2 x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x^{2} (4 x - 3 \cdot 1) + (2 x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.7

Умножим $- 3$ на $1$ .

$x^{2} (4 x - 3) + (2 x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x^{2} (4 x - 3) + (2 x^{2} - 3 x) (2 x)$

Этап 2.9

Перенесем $2$ влево от $2 x^{2} - 3 x$ .

$x^{2} (4 x - 3) + 2 \cdot (2 x^{2} - 3 x) x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot - 3 + 2 (2 x^{2} - 3 x) x$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot - 3 + (2 (2 x^{2}) + 2 (- 3 x)) x$

Этап 3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot - 3 + 2 (2 x^{2}) x + 2 (- 3 x) x$

Этап 3.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Перенесем $x$ .

$x \cdot x^{2} \cdot 4 + x^{2} \cdot - 3 + 2 (2 x^{2}) x + 2 (- 3 x) x$

Этап 3.4.1.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{1} x^{2} \cdot 4 + x^{2} \cdot - 3 + 2 (2 x^{2}) x + 2 (- 3 x) x$

Этап 3.4.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{1 + 2} \cdot 4 + x^{2} \cdot - 3 + 2 (2 x^{2}) x + 2 (- 3 x) x$

Этап 3.4.1.3

Добавим $1$ и $2$ .

$x^{3} \cdot 4 + x^{2} \cdot - 3 + 2 (2 x^{2}) x + 2 (- 3 x) x$

Этап 3.4.2

Перенесем $4$ влево от $x^{3}$ .

$4 \cdot x^{3} + x^{2} \cdot - 3 + 2 (2 x^{2}) x + 2 (- 3 x) x$

Этап 3.4.3

Перенесем $- 3$ влево от $x^{2}$ .

$4 x^{3} - 3 \cdot x^{2} + 2 (2 x^{2}) x + 2 (- 3 x) x$

Этап 3.4.4

Умножим $2$ на $2$ .

$4 x^{3} - 3 x^{2} + 4 x^{2} x + 2 (- 3 x) x$

Этап 3.4.5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$4 x^{3} - 3 x^{2} + 4 (x^{1} x^{2}) + 2 (- 3 x) x$

Этап 3.4.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 x^{3} - 3 x^{2} + 4 x^{1 + 2} + 2 (- 3 x) x$

Этап 3.4.7

Добавим $1$ и $2$ .

$4 x^{3} - 3 x^{2} + 4 x^{3} + 2 (- 3 x) x$

Этап 3.4.8

Умножим $- 3$ на $2$ .

$4 x^{3} - 3 x^{2} + 4 x^{3} - 6 x \cdot x$

Этап 3.4.9

Возведем $x$ в степень $1$ .

$4 x^{3} - 3 x^{2} + 4 x^{3} - 6 (x^{1} x)$

Этап 3.4.10

Возведем $x$ в степень $1$ .

$4 x^{3} - 3 x^{2} + 4 x^{3} - 6 (x^{1} x^{1})$

Этап 3.4.11

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 x^{3} - 3 x^{2} + 4 x^{3} - 6 x^{1 + 1}$

Этап 3.4.12

Добавим $1$ и $1$ .

$4 x^{3} - 3 x^{2} + 4 x^{3} - 6 x^{2}$

Этап 3.4.13

Добавим $4 x^{3}$ и $4 x^{3}$ .

$8 x^{3} - 3 x^{2} - 6 x^{2}$

Этап 3.4.14

Вычтем $6 x^{2}$ из $- 3 x^{2}$ .

$8 x^{3} - 9 x^{2}$