Математический анализ Примеры

$x^{2} (2 x - 1)$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = 2 x - 1$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [2 x - 1] + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $2 x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$x^{2} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x^{2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.4

Умножим $2$ на $1$ .

$x^{2} (2 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.5

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$x^{2} (2 + 0) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Добавим $2$ и $0$ .

$x^{2} \cdot 2 + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.6.2

Перенесем $2$ влево от $x^{2}$ .

$2 \cdot x^{2} + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x^{2} + (2 x - 1) (2 x)$

Этап 2.8

Перенесем $2$ влево от $2 x - 1$ .

$2 x^{2} + 2 \cdot (2 x - 1) x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x^{2} + (2 (2 x) + 2 \cdot - 1) x$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x^{2} + 2 (2 x) x + 2 \cdot - 1 x$

Этап 3.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим $2$ на $2$ .

$2 x^{2} + 4 x \cdot x + 2 \cdot - 1 x$

Этап 3.3.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$2 x^{2} + 4 (x^{1} x) + 2 \cdot - 1 x$

Этап 3.3.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$2 x^{2} + 4 (x^{1} x^{1}) + 2 \cdot - 1 x$

Этап 3.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 x^{2} + 4 x^{1 + 1} + 2 \cdot - 1 x$

Этап 3.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$2 x^{2} + 4 x^{2} + 2 \cdot - 1 x$

Этап 3.3.6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$2 x^{2} + 4 x^{2} - 2 x$

Этап 3.3.7

Добавим $2 x^{2}$ и $4 x^{2}$ .

$6 x^{2} - 2 x$