Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{7} \sqrt{7 x} d x$

Этап 1

Пусть $u = 7 x$ . Тогда $d u = 7 d x$ , следовательно $\frac{1}{7} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = 7 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $7 x$ .

$\frac{d}{d x} [7 x]$

Этап 1.1.2

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7 x$ по $x$ равна $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$7 \cdot 1$

Этап 1.1.4

Умножим $7$ на $1$ .

$7$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = 7 x$ .

$u_{lower} = 7 \cdot 0$

Этап 1.3

Умножим $7$ на $0$ .

$u_{lower} = 0$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = 7 x$ .

$u_{upper} = 7 \cdot 7$

Этап 1.5

Умножим $7$ на $7$ .

$u_{upper} = 49$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 49$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{0}^{49} \sqrt{u} \frac{1}{7} d u$

Этап 2

Объединим $\sqrt{u}$ и $\frac{1}{7}$ .

$\int_{0}^{49} \frac{\sqrt{u}}{7} d u$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{7}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{7}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{7} \int_{0}^{49} \sqrt{u} d u$

Этап 4

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u}$ в виде $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{7} \int_{0}^{49} u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 5

По правилу степени интеграл $u^{\frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{7} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{0}^{49}$

Этап 6

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем значение $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ в $49$ и в $0$ .

$\frac{1}{7} ((\frac{2}{3} \cdot 49^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Перепишем $49$ в виде $7^{2}$ .

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} \cdot {(7^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} \cdot 7^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.2.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} \cdot 7^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.2.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} \cdot 7^{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.2.4

Возведем $7$ в степень $3$ .

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} \cdot 343 - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.2.5

Объединим $\frac{2}{3}$ и $343$ .

$\frac{1}{7} (\frac{2 \cdot 343}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.2.6

Умножим $2$ на $343$ .

$\frac{1}{7} (\frac{686}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.2.7

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$\frac{1}{7} (\frac{686}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.2.8

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{7} (\frac{686}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

Этап 6.2.9

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.9.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{7} (\frac{686}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

Этап 6.2.9.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{7} (\frac{686}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{3})$

Этап 6.2.10

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{1}{7} (\frac{686}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0)$

Этап 6.2.11

Умножим $0$ на $- 1$ .

$\frac{1}{7} (\frac{686}{3} + 0 (\frac{2}{3}))$

Этап 6.2.12

Умножим $0$ на $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{7} (\frac{686}{3} + 0)$

Этап 6.2.13

Добавим $\frac{686}{3}$ и $0$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{686}{3}$

Этап 6.2.14

Умножим $\frac{1}{7}$ на $\frac{686}{3}$ .

$\frac{686}{7 \cdot 3}$

Этап 6.2.15

Умножим $7$ на $3$ .

$\frac{686}{21}$

Этап 6.2.16

Сократим общий множитель $686$ и $21$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.16.1

Вынесем множитель $7$ из $686$ .

$\frac{7 (98)}{21}$

Этап 6.2.16.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.16.2.1

Вынесем множитель $7$ из $21$ .

$\frac{7 \cdot 98}{7 \cdot 3}$

Этап 6.2.16.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{7 \cdot 98}{7 \cdot 3}$

Этап 6.2.16.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{98}{3}$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{98}{3}$

Десятичная форма:

$32.\overline{6}$

Форма смешанных чисел:

$32 \frac{2}{3}$

Этап 8