Математический анализ Примеры

$f (x) = (2 x + 1) \cos (x)$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = 2 x + 1$ и $g (x) = \cos (x)$ .

$(2 x + 1) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Этап 2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$(2 x + 1) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $2 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$(2 x + 1) (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 3.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(2 x + 1) (- \sin (x)) + \cos (x) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(2 x + 1) (- \sin (x)) + \cos (x) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 3.4

Умножим $2$ на $1$ .

$(2 x + 1) (- \sin (x)) + \cos (x) (2 + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 3.5

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$(2 x + 1) (- \sin (x)) + \cos (x) (2 + 0)$

Этап 3.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Добавим $2$ и $0$ .

$(2 x + 1) (- \sin (x)) + \cos (x) \cdot 2$

Этап 3.6.2

Перенесем $2$ влево от $\cos (x)$ .

$(2 x + 1) (- \sin (x)) + 2 \cdot \cos (x)$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x (- \sin (x)) + 1 (- \sin (x)) + 2 \cos (x)$

Этап 4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 x \sin (x) + 1 (- \sin (x)) + 2 \cos (x)$

Этап 4.2.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 2 x \sin (x) - 1 \sin (x) + 2 \cos (x)$

Этап 4.2.3

Перепишем $- 1 \sin (x)$ в виде $- \sin (x)$ .

$- 2 x \sin (x) - \sin (x) + 2 \cos (x)$