Математический анализ Примеры

$f (x) = (\frac{e^{2 x}}{x^{6}})$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = e^{2 x}$ и $g (x) = x^{6}$ .

$\frac{x^{6} \frac{d}{d x} [e^{2 x}] - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{6}]}{{(x^{6})}^{2}}$

Этап 2

Перемножим экспоненты в ${(x^{6})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{6} \frac{d}{d x} [e^{2 x}] - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{6 \cdot 2}}$

Этап 2.2

Умножим $6$ на $2$ .

$\frac{x^{6} \frac{d}{d x} [e^{2 x}] - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Этап 3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x$ .

$\frac{x^{6} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{x^{6} (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$\frac{x^{6} (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Этап 4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{6} (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{x^{6} (e^{2 x} (2 \cdot 1)) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Этап 4.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{x^{6} (e^{2 x} \cdot 2) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Этап 4.3.2

Перенесем $2$ влево от $e^{2 x}$ .

$\frac{x^{6} (2 \cdot e^{2 x}) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Этап 4.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 6$ .

$\frac{x^{6} (2 e^{2 x}) - e^{2 x} (6 x^{5})}{x^{12}}$

Этап 4.5

Умножим $6$ на $- 1$ .

$\frac{x^{6} (2 e^{2 x}) - 6 e^{2 x} x^{5}}{x^{12}}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{2 x^{6} e^{2 x} - 6 e^{2 x} x^{5}}{x^{12}}$

Этап 5.1.2

Изменим порядок множителей в $2 x^{6} e^{2 x} - 6 e^{2 x} x^{5}$ .

$\frac{2 x^{6} e^{2 x} - 6 x^{5} e^{2 x}}{x^{12}}$

Этап 5.2

Изменим порядок членов.

$\frac{2 e^{2 x} x^{6} - 6 e^{2 x} x^{5}}{x^{12}}$

Этап 5.3

Вынесем множитель $2 e^{2 x} x^{5}$ из $2 e^{2 x} x^{6} - 6 e^{2 x} x^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вынесем множитель $2 e^{2 x} x^{5}$ из $2 e^{2 x} x^{6}$ .

$\frac{2 e^{2 x} x^{5} (x) - 6 e^{2 x} x^{5}}{x^{12}}$

Этап 5.3.2

Вынесем множитель $2 e^{2 x} x^{5}$ из $- 6 e^{2 x} x^{5}$ .

$\frac{2 e^{2 x} x^{5} (x) + 2 e^{2 x} x^{5} (- 3)}{x^{12}}$

Этап 5.3.3

Вынесем множитель $2 e^{2 x} x^{5}$ из $2 e^{2 x} x^{5} (x) + 2 e^{2 x} x^{5} (- 3)$ .

$\frac{2 e^{2 x} x^{5} (x - 3)}{x^{12}}$

Этап 5.4

Сократим общий множитель $x^{5}$ и $x^{12}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Вынесем множитель $x^{5}$ из $2 e^{2 x} x^{5} (x - 3)$ .

$\frac{x^{5} (2 e^{2 x} (x - 3))}{x^{12}}$

Этап 5.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Вынесем множитель $x^{5}$ из $x^{12}$ .

$\frac{x^{5} (2 e^{2 x} (x - 3))}{x^{5} x^{7}}$

Этап 5.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{5} (2 e^{2 x} (x - 3))}{x^{5} x^{7}}$

Этап 5.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2 e^{2 x} (x - 3)}{x^{7}}$