Математический анализ Примеры

$f (x) = (x^{3}) \sqrt[5]{2 - x}$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[5]{2 - x}$ в виде ${(2 - x)}^{\frac{1}{5}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} {(2 - x)}^{\frac{1}{5}}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = {(2 - x)}^{\frac{1}{5}}$ .

$x^{3} \frac{d}{d x} [{(2 - x)}^{\frac{1}{5}}] + {(2 - x)}^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{5}}$ и $g (x) = 2 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 - x$ .

$x^{3} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{5}}] \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{5}$ .

$x^{3} (\frac{1}{5} u^{\frac{1}{5} - 1} \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 - x$ .

$x^{3} (\frac{1}{5} {(2 - x)}^{\frac{1}{5} - 1} \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$x^{3} (\frac{1}{5} {(2 - x)}^{\frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 5

Объединим $- 1$ и $\frac{5}{5}$ .

$x^{3} (\frac{1}{5} {(2 - x)}^{\frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 6

Объединим числители над общим знаменателем.

$x^{3} (\frac{1}{5} {(2 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$x^{3} (\frac{1}{5} {(2 - x)}^{\frac{1 - 5}{5}} \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 7.2

Вычтем $5$ из $1$ .

$x^{3} (\frac{1}{5} {(2 - x)}^{\frac{- 4}{5}} \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 8

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x^{3} (\frac{1}{5} {(2 - x)}^{- \frac{4}{5}} \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 8.2

Объединим $\frac{1}{5}$ и ${(2 - x)}^{- \frac{4}{5}}$ .

$x^{3} (\frac{{(2 - x)}^{- \frac{4}{5}}}{5} \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 8.3

Перенесем ${(2 - x)}^{- \frac{4}{5}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{3} (\frac{1}{5 {(2 - x)}^{\frac{4}{5}}} \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 8.4

Объединим $\frac{1}{5 {(2 - x)}^{\frac{4}{5}}}$ и $x^{3}$ .

$\frac{x^{3}}{5 {(2 - x)}^{\frac{4}{5}}} \frac{d}{d x} [2 - x] + {(2 - x)}^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 9

По правилу суммы производная $2 - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{x^{3}}{5 {(2 - x)}^{\frac{4}{5}}} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 10

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{x^{3}}{5 {(2 - x)}^{\frac{4}{5}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 11

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{x^{3}}{5 {(2 - x)}^{\frac{4}{5}}} \frac{d}{d x} [- x] + {(2 - x)}^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 12

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{3}}{5 {(2 - x)}^{\frac{4}{5}}} (- \frac{d}{d x} [x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 13

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{x^{3}}{5 {(2 - x)}^{\frac{4}{5}}} (- 1 \cdot 1) + {(2 - x)}^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 14

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{x^{3}}{5 {(2 - x)}^{\frac{4}{5}}} \cdot - 1 + {(2 - x)}^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 14.2

Объединим $\frac{x^{3}}{5 {(2 - x)}^{\frac{4}{5}}}$ и $- 1$ .

$\frac{x^{3} \cdot - 1}{5 {(2 - x)}^{\frac{4}{5}}} + {(2 - x)}^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 14.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.1

Перенесем $- 1$ влево от $x^{3}$ .

$\frac{- 1 \cdot x^{3}}{5 {(2 - x)}^{\frac{4}{5}}} + {(2 - x)}^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 14.3.2

Перепишем $- 1 x^{3}$ в виде $- x^{3}$ .

$\frac{- x^{3}}{5 {(2 - x)}^{\frac{4}{5}}} + {(2 - x)}^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 14.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{x^{3}}{5 {(2 - x)}^{\frac{4}{5}}} + {(2 - x)}^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 15

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$- \frac{x^{3}}{5 {(2 - x)}^{\frac{4}{5}}} + {(2 - x)}^{\frac{1}{5}} (3 x^{2})$

Этап 16

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Перенесем $3$ влево от ${(2 - x)}^{\frac{1}{5}}$ .

$- \frac{x^{3}}{5 {(2 - x)}^{\frac{4}{5}}} + 3 \cdot {(2 - x)}^{\frac{1}{5}} x^{2}$

Этап 16.2

Перенесем ${(- x + 2)}^{\frac{1}{5}}$ .

$- \frac{x^{3}}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}} + 3 x^{2} {(- x + 2)}^{\frac{1}{5}}$

Этап 17

Чтобы записать $3 x^{2} {(- x + 2)}^{\frac{1}{5}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$ .

$- \frac{x^{3}}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}} + 3 x^{2} {(- x + 2)}^{\frac{1}{5}} \cdot \frac{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$

Этап 18

Объединим $3 x^{2} {(- x + 2)}^{\frac{1}{5}}$ и $\frac{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$ .

$- \frac{x^{3}}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}} + \frac{3 x^{2} {(- x + 2)}^{\frac{1}{5}} (5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}})}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$

Этап 19

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- x^{3} + 3 x^{2} {(- x + 2)}^{\frac{1}{5}} (5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}})}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$

Этап 20

Умножим $5$ на $3$ .

$\frac{- x^{3} + 15 x^{2} {(- x + 2)}^{\frac{1}{5}} {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$

Этап 21

Умножим ${(- x + 2)}^{\frac{1}{5}}$ на ${(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.1

Перенесем ${(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}$ .

$\frac{- x^{3} + 15 x^{2} ({(- x + 2)}^{\frac{4}{5}} {(- x + 2)}^{\frac{1}{5}})}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$

Этап 21.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- x^{3} + 15 x^{2} {(- x + 2)}^{\frac{4}{5} + \frac{1}{5}}}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$

Этап 21.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- x^{3} + 15 x^{2} {(- x + 2)}^{\frac{4 + 1}{5}}}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$

Этап 21.4

Добавим $4$ и $1$ .

$\frac{- x^{3} + 15 x^{2} {(- x + 2)}^{\frac{5}{5}}}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$

Этап 21.5

Разделим $5$ на $5$ .

$\frac{- x^{3} + 15 x^{2} {(- x + 2)}^{1}}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$

Этап 22

Упростим $15 x^{2} {(- x + 2)}^{1}$ .

$\frac{- x^{3} + 15 x^{2} (- x + 2)}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$

Этап 23

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- x^{3} + 15 x^{2} (- x) + 15 x^{2} \cdot 2}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$

Этап 23.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{- x^{3} + 15 \cdot - 1 x^{2} x + 15 x^{2} \cdot 2}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$

Этап 23.2.1.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.2.1.2.1

Перенесем $x$ .

$\frac{- x^{3} + 15 \cdot - 1 (x \cdot x^{2}) + 15 x^{2} \cdot 2}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$

Этап 23.2.1.2.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.2.1.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{- x^{3} + 15 \cdot - 1 (x^{1} x^{2}) + 15 x^{2} \cdot 2}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$

Этап 23.2.1.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- x^{3} + 15 \cdot - 1 x^{1 + 2} + 15 x^{2} \cdot 2}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$

Этап 23.2.1.2.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{- x^{3} + 15 \cdot - 1 x^{3} + 15 x^{2} \cdot 2}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$

Этап 23.2.1.3

Умножим $15$ на $- 1$ .

$\frac{- x^{3} - 15 x^{3} + 15 x^{2} \cdot 2}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$

Этап 23.2.1.4

Умножим $2$ на $15$ .

$\frac{- x^{3} - 15 x^{3} + 30 x^{2}}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$

Этап 23.2.2

Вычтем $15 x^{3}$ из $- x^{3}$ .

$\frac{- 16 x^{3} + 30 x^{2}}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$

Этап 23.3

Вынесем множитель $2 x^{2}$ из $- 16 x^{3} + 30 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.3.1

Вынесем множитель $2 x^{2}$ из $- 16 x^{3}$ .

$\frac{2 x^{2} (- 8 x) + 30 x^{2}}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$

Этап 23.3.2

Вынесем множитель $2 x^{2}$ из $30 x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} (- 8 x) + 2 x^{2} (15)}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$

Этап 23.3.3

Вынесем множитель $2 x^{2}$ из $2 x^{2} (- 8 x) + 2 x^{2} (15)$ .

$\frac{2 x^{2} (- 8 x + 15)}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$

Этап 23.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- 8 x$ .

$\frac{2 x^{2} (- (8 x) + 15)}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$

Этап 23.5

Перепишем $15$ в виде $- 1 (- 15)$ .

$\frac{2 x^{2} (- (8 x) - 1 (- 15))}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$

Этап 23.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (8 x) - 1 (- 15)$ .

$\frac{2 x^{2} (- (8 x - 15))}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$

Этап 23.7

Перепишем $- (8 x - 15)$ в виде $- 1 (8 x - 15)$ .

$\frac{2 x^{2} (- 1 (8 x - 15))}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$

Этап 23.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{(2 x^{2}) (8 x - 15)}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$

Этап 23.9

Изменим порядок множителей в $- \frac{(2 x^{2}) (8 x - 15)}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$ .

$- \frac{2 x^{2} (8 x - 15)}{5 {(- x + 2)}^{\frac{4}{5}}}$