Математический анализ Примеры

$c (t) = 14.5 e^{- 1.2 t} + 0.14 t^{2}$

Этап 1

По правилу суммы производная $14.5 e^{- 1.2 t} + 0.14 t^{2}$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [14.5 e^{- 1.2 t}] + \frac{d}{d t} [0.14 t^{2}]$ .

$\frac{d}{d t} [14.5 e^{- 1.2 t}] + \frac{d}{d t} [0.14 t^{2}]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d t} [14.5 e^{- 1.2 t}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $14.5$ является константой относительно $t$ , производная $14.5 e^{- 1.2 t}$ по $t$ равна $14.5 \frac{d}{d t} [e^{- 1.2 t}]$ .

$14.5 \frac{d}{d t} [e^{- 1.2 t}] + \frac{d}{d t} [0.14 t^{2}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = e^{t}$ и $g (t) = - 1.2 t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- 1.2 t$ .

$14.5 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [- 1.2 t]) + \frac{d}{d t} [0.14 t^{2}]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$14.5 (e^{u} \frac{d}{d t} [- 1.2 t]) + \frac{d}{d t} [0.14 t^{2}]$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $- 1.2 t$ .

$14.5 (e^{- 1.2 t} \frac{d}{d t} [- 1.2 t]) + \frac{d}{d t} [0.14 t^{2}]$

Этап 2.3

Поскольку $- 1.2$ является константой относительно $t$ , производная $- 1.2 t$ по $t$ равна $- 1.2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$14.5 (e^{- 1.2 t} (- 1.2 \frac{d}{d t} [t])) + \frac{d}{d t} [0.14 t^{2}]$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$14.5 (e^{- 1.2 t} (- 1.2 \cdot 1)) + \frac{d}{d t} [0.14 t^{2}]$

Этап 2.5

Умножим $- 1.2$ на $1$ .

$14.5 (e^{- 1.2 t} \cdot - 1.2) + \frac{d}{d t} [0.14 t^{2}]$

Этап 2.6

Перенесем $- 1.2$ влево от $e^{- 1.2 t}$ .

$14.5 (- 1.2 \cdot e^{- 1.2 t}) + \frac{d}{d t} [0.14 t^{2}]$

Этап 2.7

Умножим $- 1.2$ на $14.5$ .

$- 17.4 e^{- 1.2 t} + \frac{d}{d t} [0.14 t^{2}]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d t} [0.14 t^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $0.14$ является константой относительно $t$ , производная $0.14 t^{2}$ по $t$ равна $0.14 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$- 17.4 e^{- 1.2 t} + 0.14 \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 17.4 e^{- 1.2 t} + 0.14 (2 t)$

Этап 3.3

Умножим $2$ на $0.14$ .

$- 17.4 e^{- 1.2 t} + 0.28 t$

Этап 4

Изменим порядок членов.

$0.28 t - 17.4 e^{- 1.2 t}$