Математический анализ Примеры

$f (s) = \frac{\sqrt{s} - 1}{\sqrt{s} + 1}$

Этап 1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{s}$ в виде $s^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d s} [\frac{s^{\frac{1}{2}} - 1}{\sqrt{s} + 1}]$

Этап 1.2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{s}$ в виде $s^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d s} [\frac{s^{\frac{1}{2}} - 1}{s^{\frac{1}{2}} + 1}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d s} [\frac{f (s)}{g (s)}]$ имеет вид $\frac{g (s) \frac{d}{d s} [f (s)] - f (s) \frac{d}{d s} [g (s)]}{{g (s)}^{2}}$ , где $f (s) = s^{\frac{1}{2}} - 1$ и $g (s) = s^{\frac{1}{2}} + 1$ .

$\frac{(s^{\frac{1}{2}} + 1) \frac{d}{d s} [s^{\frac{1}{2}} - 1] - (s^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d s} [s^{\frac{1}{2}} + 1]}{{(s^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $s^{\frac{1}{2}} - 1$ по $s$ имеет вид $\frac{d}{d s} [s^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d s} [- 1]$ .

$\frac{(s^{\frac{1}{2}} + 1) (\frac{d}{d s} [s^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d s} [- 1]) - (s^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d s} [s^{\frac{1}{2}} + 1]}{{(s^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ имеет вид $n s^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{(s^{\frac{1}{2}} + 1) (\frac{1}{2} s^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d s} [- 1]) - (s^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d s} [s^{\frac{1}{2}} + 1]}{{(s^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Этап 4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(s^{\frac{1}{2}} + 1) (\frac{1}{2} s^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d s} [- 1]) - (s^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d s} [s^{\frac{1}{2}} + 1]}{{(s^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Этап 5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(s^{\frac{1}{2}} + 1) (\frac{1}{2} s^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d s} [- 1]) - (s^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d s} [s^{\frac{1}{2}} + 1]}{{(s^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Этап 6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{(s^{\frac{1}{2}} + 1) (\frac{1}{2} s^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d s} [- 1]) - (s^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d s} [s^{\frac{1}{2}} + 1]}{{(s^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Этап 7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{(s^{\frac{1}{2}} + 1) (\frac{1}{2} s^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d s} [- 1]) - (s^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d s} [s^{\frac{1}{2}} + 1]}{{(s^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Этап 7.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{(s^{\frac{1}{2}} + 1) (\frac{1}{2} s^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d s} [- 1]) - (s^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d s} [s^{\frac{1}{2}} + 1]}{{(s^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Этап 8

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{(s^{\frac{1}{2}} + 1) (\frac{1}{2} s^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d s} [- 1]) - (s^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d s} [s^{\frac{1}{2}} + 1]}{{(s^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Этап 8.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $s^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{(s^{\frac{1}{2}} + 1) (\frac{s^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d s} [- 1]) - (s^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d s} [s^{\frac{1}{2}} + 1]}{{(s^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Этап 8.3

Перенесем $s^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(s^{\frac{1}{2}} + 1) (\frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d s} [- 1]) - (s^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d s} [s^{\frac{1}{2}} + 1]}{{(s^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Этап 9

Поскольку $- 1$ является константой относительно $s$ , производная $- 1$ относительно $s$ равна $0$ .

$\frac{(s^{\frac{1}{2}} + 1) (\frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}} + 0) - (s^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d s} [s^{\frac{1}{2}} + 1]}{{(s^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Этап 10

Добавим $\frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}}$ и $0$ .

$\frac{(s^{\frac{1}{2}} + 1) \frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}} - (s^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d s} [s^{\frac{1}{2}} + 1]}{{(s^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Этап 11

По правилу суммы производная $s^{\frac{1}{2}} + 1$ по $s$ имеет вид $\frac{d}{d s} [s^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d s} [1]$ .

$\frac{(s^{\frac{1}{2}} + 1) \frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}} - (s^{\frac{1}{2}} - 1) (\frac{d}{d s} [s^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d s} [1])}{{(s^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Этап 12

$\frac{(s^{\frac{1}{2}} + 1) \frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}} - (s^{\frac{1}{2}} - 1) (\frac{1}{2} s^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d s} [1])}{{(s^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Этап 13

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(s^{\frac{1}{2}} + 1) \frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}} - (s^{\frac{1}{2}} - 1) (\frac{1}{2} s^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d s} [1])}{{(s^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Этап 14

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(s^{\frac{1}{2}} + 1) \frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}} - (s^{\frac{1}{2}} - 1) (\frac{1}{2} s^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d s} [1])}{{(s^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Этап 15

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{(s^{\frac{1}{2}} + 1) \frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}} - (s^{\frac{1}{2}} - 1) (\frac{1}{2} s^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d s} [1])}{{(s^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Этап 16

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{(s^{\frac{1}{2}} + 1) \frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}} - (s^{\frac{1}{2}} - 1) (\frac{1}{2} s^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d s} [1])}{{(s^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Этап 16.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{(s^{\frac{1}{2}} + 1) \frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}} - (s^{\frac{1}{2}} - 1) (\frac{1}{2} s^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d s} [1])}{{(s^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Этап 17

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{(s^{\frac{1}{2}} + 1) \frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}} - (s^{\frac{1}{2}} - 1) (\frac{1}{2} s^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d s} [1])}{{(s^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Этап 17.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $s^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{(s^{\frac{1}{2}} + 1) \frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}} - (s^{\frac{1}{2}} - 1) (\frac{s^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d s} [1])}{{(s^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Этап 17.3

Перенесем $s^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(s^{\frac{1}{2}} + 1) \frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}} - (s^{\frac{1}{2}} - 1) (\frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d s} [1])}{{(s^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Этап 18

Поскольку $1$ является константой относительно $s$ , производная $1$ относительно $s$ равна $0$ .

$\frac{(s^{\frac{1}{2}} + 1) \frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}} - (s^{\frac{1}{2}} - 1) (\frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}} + 0)}{{(s^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Этап 19

Добавим $\frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}}$ и $0$ .

$\frac{(s^{\frac{1}{2}} + 1) \frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}} - (s^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}}}{{(s^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Этап 20

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{s^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}} + 1 \frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}} - (s^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}}}{{(s^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Этап 20.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{s^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}} + 1 \frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}} + (- s^{\frac{1}{2}} - - 1) \frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}}}{{(s^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Этап 20.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{s^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}} + 1 \frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}} - s^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}} - - 1 \frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}}}{{(s^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Этап 20.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.4.1

Объединим противоположные члены в $s^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}} + 1 \frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}} - s^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}} - - 1 \frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.4.1.1

Вычтем $s^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}}$ из $s^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1 \frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}} + 0 - - 1 \frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}}}{{(s^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Этап 20.4.1.2

Добавим $1 \frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}}$ и $0$ .

$\frac{1 \frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}} - - 1 \frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}}}{{(s^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Этап 20.4.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.4.2.1

Умножим $\frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}}$ на $1$ .

$\frac{\frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}} - - 1 \frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}}}{{(s^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Этап 20.4.2.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{\frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}} + 1 \frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}}}{{(s^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Этап 20.4.2.3

Умножим $\frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}}$ на $1$ .

$\frac{\frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}}}{{(s^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Этап 20.4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{1 + 1}{2 s^{\frac{1}{2}}}}{{(s^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Этап 20.4.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\frac{2}{2 s^{\frac{1}{2}}}}{{(s^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Этап 20.4.5

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{2}{2 s^{\frac{1}{2}}}}{{(s^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Этап 20.4.6

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{1}{s^{\frac{1}{2}}}}{{(s^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Этап 20.5

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.5.1

Перепишем $\frac{\frac{1}{s^{\frac{1}{2}}}}{{(s^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$ в виде произведения.

$\frac{1}{s^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{{(s^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Этап 20.5.2

Умножим $\frac{1}{s^{\frac{1}{2}}}$ на $\frac{1}{{(s^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{1}{s^{\frac{1}{2}} {(s^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$