Математический анализ Примеры

$f (t) = {(4 t^{2} - 2 t + 5)}^{\frac{3}{2}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = t^{\frac{3}{2}}$ и $g (t) = 4 t^{2} - 2 t + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $4 t^{2} - 2 t + 5$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d t} [4 t^{2} - 2 t + 5]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d t} [4 t^{2} - 2 t + 5]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $4 t^{2} - 2 t + 5$ .

$\frac{3}{2} {(4 t^{2} - 2 t + 5)}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d t} [4 t^{2} - 2 t + 5]$

Этап 2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} {(4 t^{2} - 2 t + 5)}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [4 t^{2} - 2 t + 5]$

Этап 3

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} {(4 t^{2} - 2 t + 5)}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [4 t^{2} - 2 t + 5]$

Этап 4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3}{2} {(4 t^{2} - 2 t + 5)}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [4 t^{2} - 2 t + 5]$

Этап 5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{3}{2} {(4 t^{2} - 2 t + 5)}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d t} [4 t^{2} - 2 t + 5]$

Этап 5.2

Вычтем $2$ из $3$ .

$\frac{3}{2} {(4 t^{2} - 2 t + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [4 t^{2} - 2 t + 5]$

Этап 6

Объединим $\frac{3}{2}$ и ${(4 t^{2} - 2 t + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 {(4 t^{2} - 2 t + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [4 t^{2} - 2 t + 5]$

Этап 7

По правилу суммы производная $4 t^{2} - 2 t + 5$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [4 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 2 t] + \frac{d}{d t} [5]$ .

$\frac{3 {(4 t^{2} - 2 t + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2} (\frac{d}{d t} [4 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 2 t] + \frac{d}{d t} [5])$

Этап 8

Поскольку $4$ является константой относительно $t$ , производная $4 t^{2}$ по $t$ равна $4 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$\frac{3 {(4 t^{2} - 2 t + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2} (4 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 2 t] + \frac{d}{d t} [5])$

Этап 9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{3 {(4 t^{2} - 2 t + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2} (4 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 2 t] + \frac{d}{d t} [5])$

Этап 10

Умножим $2$ на $4$ .

$\frac{3 {(4 t^{2} - 2 t + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2} (8 t + \frac{d}{d t} [- 2 t] + \frac{d}{d t} [5])$

Этап 11

Поскольку $- 2$ является константой относительно $t$ , производная $- 2 t$ по $t$ равна $- 2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{3 {(4 t^{2} - 2 t + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2} (8 t - 2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [5])$

Этап 12

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{3 {(4 t^{2} - 2 t + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2} (8 t - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [5])$

Этап 13

Умножим $- 2$ на $1$ .

$\frac{3 {(4 t^{2} - 2 t + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2} (8 t - 2 + \frac{d}{d t} [5])$

Этап 14

Поскольку $5$ является константой относительно $t$ , производная $5$ относительно $t$ равна $0$ .

$\frac{3 {(4 t^{2} - 2 t + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2} (8 t - 2 + 0)$

Этап 15

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Добавим $8 t - 2$ и $0$ .

$\frac{3 {(4 t^{2} - 2 t + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2} (8 t - 2)$

Этап 15.2

Изменим порядок множителей в $\frac{3 {(4 t^{2} - 2 t + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2} (8 t - 2)$ .

$(8 t - 2) \frac{3 {(4 t^{2} - 2 t + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2}$