Математический анализ Примеры

$f (t) = \frac{5}{t^{3}} - \frac{4}{t^{2}} + \frac{1}{t}$

Этап 1

По правилу суммы производная $\frac{5}{t^{3}} - \frac{4}{t^{2}} + \frac{1}{t}$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [\frac{5}{t^{3}}] + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{5}{t^{3}}] + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d t} [\frac{5}{t^{3}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $5$ является константой относительно $t$ , производная $\frac{5}{t^{3}}$ по $t$ равна $5 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{3}}]$ .

$5 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{3}}] + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

Этап 2.2

Перепишем $\frac{1}{t^{3}}$ в виде ${(t^{3})}^{- 1}$ .

$5 \frac{d}{d t} [{(t^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = t^{- 1}$ и $g (t) = t^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $t^{3}$ .

$5 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d t} [t^{3}]) + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$5 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{3}]) + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

Этап 2.3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $t^{3}$ .

$5 (- {(t^{3})}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{3}]) + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$5 (- {(t^{3})}^{- 2} (3 t^{2})) + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

Этап 2.5

Перемножим экспоненты в ${(t^{3})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 (- t^{3 \cdot - 2} (3 t^{2})) + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

Этап 2.5.2

Умножим $3$ на $- 2$ .

$5 (- t^{- 6} (3 t^{2})) + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

Этап 2.6

Умножим $3$ на $- 1$ .

$5 (- 3 t^{- 6} t^{2}) + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

Этап 2.7

Умножим $t^{- 6}$ на $t^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Перенесем $t^{2}$ .

$5 (- 3 (t^{2} t^{- 6})) + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

Этап 2.7.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$5 (- 3 t^{2 - 6}) + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

Этап 2.7.3

Вычтем $6$ из $2$ .

$5 (- 3 t^{- 4}) + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

Этап 2.8

Умножим $- 3$ на $5$ .

$- 15 t^{- 4} + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $t$ , производная $- \frac{4}{t^{2}}$ по $t$ равна $- 4 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2}}]$ .

$- 15 t^{- 4} - 4 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

Этап 3.2

Перепишем $\frac{1}{t^{2}}$ в виде ${(t^{2})}^{- 1}$ .

$- 15 t^{- 4} - 4 \frac{d}{d t} [{(t^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

Этап 3.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $t^{2}$ .

$- 15 t^{- 4} - 4 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d t} [t^{2}]) + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$- 15 t^{- 4} - 4 (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{2}]) + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

Этап 3.3.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $t^{2}$ .

$- 15 t^{- 4} - 4 (- {(t^{2})}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{2}]) + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 15 t^{- 4} - 4 (- {(t^{2})}^{- 2} (2 t)) + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

Этап 3.5

Перемножим экспоненты в ${(t^{2})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 15 t^{- 4} - 4 (- t^{2 \cdot - 2} (2 t)) + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

Этап 3.5.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$- 15 t^{- 4} - 4 (- t^{- 4} (2 t)) + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

Этап 3.6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 15 t^{- 4} - 4 (- 2 t^{- 4} t) + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

Этап 3.7

Возведем $t$ в степень $1$ .

$- 15 t^{- 4} - 4 (- 2 (t^{1} t^{- 4})) + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

Этап 3.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 15 t^{- 4} - 4 (- 2 t^{1 - 4}) + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

Этап 3.9

Вычтем $4$ из $1$ .

$- 15 t^{- 4} - 4 (- 2 t^{- 3}) + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

Этап 3.10

Умножим $- 2$ на $- 4$ .

$- 15 t^{- 4} + 8 t^{- 3} + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

Этап 4

Найдем значение $\frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем $\frac{1}{t}$ в виде $t^{- 1}$ .

$- 15 t^{- 4} + 8 t^{- 3} + \frac{d}{d t} [t^{- 1}]$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$- 15 t^{- 4} + 8 t^{- 3} - t^{- 2}$

Этап 5

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 15 \frac{1}{t^{4}} + 8 t^{- 3} - t^{- 2}$

Этап 6

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 15 \frac{1}{t^{4}} + 8 \frac{1}{t^{3}} - t^{- 2}$

Этап 7

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 15 \frac{1}{t^{4}} + 8 \frac{1}{t^{3}} - \frac{1}{t^{2}}$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Объединим $- 15$ и $\frac{1}{t^{4}}$ .

$\frac{- 15}{t^{4}} + 8 \frac{1}{t^{3}} - \frac{1}{t^{2}}$

Этап 8.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{15}{t^{4}} + 8 \frac{1}{t^{3}} - \frac{1}{t^{2}}$

Этап 8.1.3

Объединим $8$ и $\frac{1}{t^{3}}$ .

$- \frac{15}{t^{4}} + \frac{8}{t^{3}} - \frac{1}{t^{2}}$

Этап 8.2

Изменим порядок членов.

$- \frac{1}{t^{2}} + \frac{8}{t^{3}} - \frac{15}{t^{4}}$