Математический анализ Примеры

$f (t) = - 3 t {(5 t^{8} - 1)}^{7}$

Этап 1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $t$ , производная $- 3 t {(5 t^{8} - 1)}^{7}$ по $t$ равна $- 3 \frac{d}{d t} [t {(5 t^{8} - 1)}^{7}]$ .

$- 3 \frac{d}{d t} [t {(5 t^{8} - 1)}^{7}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ имеет вид $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ , где $f (t) = t$ и $g (t) = {(5 t^{8} - 1)}^{7}$ .

$- 3 (t \frac{d}{d t} [{(5 t^{8} - 1)}^{7}] + {(5 t^{8} - 1)}^{7} \frac{d}{d t} [t])$

Этап 3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = t^{7}$ и $g (t) = 5 t^{8} - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $5 t^{8} - 1$ .

$- 3 (t (\frac{d}{d u} [u^{7}] \frac{d}{d t} [5 t^{8} - 1]) + {(5 t^{8} - 1)}^{7} \frac{d}{d t} [t])$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 7$ .

$- 3 (t (7 u^{6} \frac{d}{d t} [5 t^{8} - 1]) + {(5 t^{8} - 1)}^{7} \frac{d}{d t} [t])$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u$ на $5 t^{8} - 1$ .

$- 3 (t (7 {(5 t^{8} - 1)}^{6} \frac{d}{d t} [5 t^{8} - 1]) + {(5 t^{8} - 1)}^{7} \frac{d}{d t} [t])$

Этап 4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

По правилу суммы производная $5 t^{8} - 1$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [5 t^{8}] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$- 3 (t (7 {(5 t^{8} - 1)}^{6} (\frac{d}{d t} [5 t^{8}] + \frac{d}{d t} [- 1])) + {(5 t^{8} - 1)}^{7} \frac{d}{d t} [t])$

Этап 4.2

Поскольку $5$ является константой относительно $t$ , производная $5 t^{8}$ по $t$ равна $5 \frac{d}{d t} [t^{8}]$ .

$- 3 (t (7 {(5 t^{8} - 1)}^{6} (5 \frac{d}{d t} [t^{8}] + \frac{d}{d t} [- 1])) + {(5 t^{8} - 1)}^{7} \frac{d}{d t} [t])$

Этап 4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 8$ .

$- 3 (t (7 {(5 t^{8} - 1)}^{6} (5 (8 t^{7}) + \frac{d}{d t} [- 1])) + {(5 t^{8} - 1)}^{7} \frac{d}{d t} [t])$

Этап 4.4

Умножим $8$ на $5$ .

$- 3 (t (7 {(5 t^{8} - 1)}^{6} (40 t^{7} + \frac{d}{d t} [- 1])) + {(5 t^{8} - 1)}^{7} \frac{d}{d t} [t])$

Этап 4.5

Поскольку $- 1$ является константой относительно $t$ , производная $- 1$ относительно $t$ равна $0$ .

$- 3 (t (7 {(5 t^{8} - 1)}^{6} (40 t^{7} + 0)) + {(5 t^{8} - 1)}^{7} \frac{d}{d t} [t])$

Этап 4.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Добавим $40 t^{7}$ и $0$ .

$- 3 (t (7 {(5 t^{8} - 1)}^{6} (40 t^{7})) + {(5 t^{8} - 1)}^{7} \frac{d}{d t} [t])$

Этап 4.6.2

Умножим $40$ на $7$ .

$- 3 (t (280 {(5 t^{8} - 1)}^{6} t^{7}) + {(5 t^{8} - 1)}^{7} \frac{d}{d t} [t])$

Этап 5

Возведем $t$ в степень $1$ .

$- 3 (t^{7} t^{1} (280 {(5 t^{8} - 1)}^{6}) + {(5 t^{8} - 1)}^{7} \frac{d}{d t} [t])$

Этап 6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 3 (t^{7 + 1} (280 {(5 t^{8} - 1)}^{6}) + {(5 t^{8} - 1)}^{7} \frac{d}{d t} [t])$

Этап 7

Добавим $7$ и $1$ .

$- 3 (t^{8} (280 {(5 t^{8} - 1)}^{6}) + {(5 t^{8} - 1)}^{7} \frac{d}{d t} [t])$

Этап 8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 3 (t^{8} (280 {(5 t^{8} - 1)}^{6}) + {(5 t^{8} - 1)}^{7} \cdot 1)$

Этап 9

Умножим ${(5 t^{8} - 1)}^{7}$ на $1$ .

$- 3 (t^{8} (280 {(5 t^{8} - 1)}^{6}) + {(5 t^{8} - 1)}^{7})$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 3 (t^{8} (280 {(5 t^{8} - 1)}^{6})) - 3 {(5 t^{8} - 1)}^{7}$

Этап 10.2

Умножим $280$ на $- 3$ .

$- 840 (t^{8} ({(5 t^{8} - 1)}^{6})) - 3 {(5 t^{8} - 1)}^{7}$

Этап 10.3

Вынесем множитель $3 {(5 t^{8} - 1)}^{6}$ из $- 840 t^{8} {(5 t^{8} - 1)}^{6} - 3 {(5 t^{8} - 1)}^{7}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Вынесем множитель $3 {(5 t^{8} - 1)}^{6}$ из $- 840 t^{8} {(5 t^{8} - 1)}^{6}$ .

$3 {(5 t^{8} - 1)}^{6} (- 280 t^{8}) - 3 {(5 t^{8} - 1)}^{7}$

Этап 10.3.2

Вынесем множитель $3 {(5 t^{8} - 1)}^{6}$ из $- 3 {(5 t^{8} - 1)}^{7}$ .

$3 {(5 t^{8} - 1)}^{6} (- 280 t^{8}) + 3 {(5 t^{8} - 1)}^{6} (- (5 t^{8} - 1))$

Этап 10.3.3

Вынесем множитель $3 {(5 t^{8} - 1)}^{6}$ из $3 {(5 t^{8} - 1)}^{6} (- 280 t^{8}) + 3 {(5 t^{8} - 1)}^{6} (- (5 t^{8} - 1))$ .

$3 {(5 t^{8} - 1)}^{6} (- 280 t^{8} - (5 t^{8} - 1))$