Математический анализ Примеры

$f (t) = \sqrt{\cos (3 t)}$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{\cos (3 t)}$ в виде ${\cos (3 t)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d t} [{\cos (3 t)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ и $g (t) = \cos (3 t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\cos (3 t)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [\cos (3 t)]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [\cos (3 t)]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\cos (3 t)$ .

$\frac{1}{2} {\cos (3 t)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [\cos (3 t)]$

Этап 3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {\cos (3 t)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [\cos (3 t)]$

Этап 4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {\cos (3 t)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [\cos (3 t)]$

Этап 5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} {\cos (3 t)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [\cos (3 t)]$

Этап 6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{2} {\cos (3 t)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d t} [\cos (3 t)]$

Этап 6.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{2} {\cos (3 t)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d t} [\cos (3 t)]$

Этап 7

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} {\cos (3 t)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [\cos (3 t)]$

Этап 7.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${\cos (3 t)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{\cos (3 t)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [\cos (3 t)]$

Этап 7.3

Перенесем ${\cos (3 t)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {\cos (3 t)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [\cos (3 t)]$

Этап 8

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $3 t$ .

$\frac{1}{2 {\cos (3 t)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d t} [3 t])$

Этап 8.2

Производная $\cos (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $- \sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{2 {\cos (3 t)}^{\frac{1}{2}}} (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d t} [3 t])$

Этап 8.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $3 t$ .

$\frac{1}{2 {\cos (3 t)}^{\frac{1}{2}}} (- \sin (3 t) \frac{d}{d t} [3 t])$

Этап 9

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Объединим $\frac{1}{2 {\cos (3 t)}^{\frac{1}{2}}}$ и $\sin (3 t)$ .

$- \frac{\sin (3 t)}{2 {\cos (3 t)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [3 t]$

Этап 9.2

Поскольку $3$ является константой относительно $t$ , производная $3 t$ по $t$ равна $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \frac{\sin (3 t)}{2 {\cos (3 t)}^{\frac{1}{2}}} (3 \frac{d}{d t} [t])$

Этап 9.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Умножим $3$ на $- 1$ .

$- 3 \frac{\sin (3 t)}{2 {\cos (3 t)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [t]$

Этап 9.3.2

Объединим $- 3$ и $\frac{\sin (3 t)}{2 {\cos (3 t)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 3 \sin (3 t)}{2 {\cos (3 t)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [t]$

Этап 9.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{3 \sin (3 t)}{2 {\cos (3 t)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [t]$

Этап 9.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- \frac{3 \sin (3 t)}{2 {\cos (3 t)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Этап 9.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \frac{3 \sin (3 t)}{2 {\cos (3 t)}^{\frac{1}{2}}}$