Математический анализ Примеры

$f (t) = \tan (e^{3 t}) + e^{\tan (3 t)}$

Этап 1

По правилу суммы производная $\tan (e^{3 t}) + e^{\tan (3 t)}$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [\tan (e^{3 t})] + \frac{d}{d t} [e^{\tan (3 t)}]$ .

$\frac{d}{d t} [\tan (e^{3 t})] + \frac{d}{d t} [e^{\tan (3 t)}]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d t} [\tan (e^{3 t})]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = \tan (t)$ и $g (t) = e^{3 t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $e^{3 t}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})] \frac{d}{d t} [e^{3 t}] + \frac{d}{d t} [e^{\tan (3 t)}]$

Этап 2.1.2

Производная $\tan (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\sec^{2} (u_{1})$ .

$\sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d t} [e^{3 t}] + \frac{d}{d t} [e^{\tan (3 t)}]$

Этап 2.1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $e^{3 t}$ .

$\sec^{2} (e^{3 t}) \frac{d}{d t} [e^{3 t}] + \frac{d}{d t} [e^{\tan (3 t)}]$

Этап 2.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $3 t$ .

$\sec^{2} (e^{3 t}) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [3 t]) + \frac{d}{d t} [e^{\tan (3 t)}]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ имеет вид $a^{u_{2}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\sec^{2} (e^{3 t}) (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [3 t]) + \frac{d}{d t} [e^{\tan (3 t)}]$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $3 t$ .

$\sec^{2} (e^{3 t}) (e^{3 t} \frac{d}{d t} [3 t]) + \frac{d}{d t} [e^{\tan (3 t)}]$

Этап 2.3

Поскольку $3$ является константой относительно $t$ , производная $3 t$ по $t$ равна $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\sec^{2} (e^{3 t}) (e^{3 t} (3 \frac{d}{d t} [t])) + \frac{d}{d t} [e^{\tan (3 t)}]$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\sec^{2} (e^{3 t}) (e^{3 t} (3 \cdot 1)) + \frac{d}{d t} [e^{\tan (3 t)}]$

Этап 2.5

Умножим $3$ на $1$ .

$\sec^{2} (e^{3 t}) (e^{3 t} \cdot 3) + \frac{d}{d t} [e^{\tan (3 t)}]$

Этап 2.6

Перенесем $3$ влево от $e^{3 t}$ .

$\sec^{2} (e^{3 t}) (3 e^{3 t}) + \frac{d}{d t} [e^{\tan (3 t)}]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d t} [e^{\tan (3 t)}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{3}$ как $\tan (3 t)$ .

$\sec^{2} (e^{3 t}) (3 e^{3 t}) + \frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d t} [\tan (3 t)]$

Этап 3.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ имеет вид $a^{u_{3}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\sec^{2} (e^{3 t}) (3 e^{3 t}) + e^{u_{3}} \frac{d}{d t} [\tan (3 t)]$

Этап 3.1.3

Заменим все вхождения $u_{3}$ на $\tan (3 t)$ .

$\sec^{2} (e^{3 t}) (3 e^{3 t}) + e^{\tan (3 t)} \frac{d}{d t} [\tan (3 t)]$

Этап 3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{4}$ как $3 t$ .

$\sec^{2} (e^{3 t}) (3 e^{3 t}) + e^{\tan (3 t)} (\frac{d}{d u_{4}} [\tan (u_{4})] \frac{d}{d t} [3 t])$

Этап 3.2.2

Производная $\tan (u_{4})$ по $u_{4}$ равна $\sec^{2} (u_{4})$ .

$\sec^{2} (e^{3 t}) (3 e^{3 t}) + e^{\tan (3 t)} (\sec^{2} (u_{4}) \frac{d}{d t} [3 t])$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u_{4}$ на $3 t$ .

$\sec^{2} (e^{3 t}) (3 e^{3 t}) + e^{\tan (3 t)} (\sec^{2} (3 t) \frac{d}{d t} [3 t])$

Этап 3.3

Поскольку $3$ является константой относительно $t$ , производная $3 t$ по $t$ равна $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\sec^{2} (e^{3 t}) (3 e^{3 t}) + e^{\tan (3 t)} (\sec^{2} (3 t) (3 \frac{d}{d t} [t]))$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\sec^{2} (e^{3 t}) (3 e^{3 t}) + e^{\tan (3 t)} (\sec^{2} (3 t) (3 \cdot 1))$

Этап 3.5

Умножим $3$ на $1$ .

$\sec^{2} (e^{3 t}) (3 e^{3 t}) + e^{\tan (3 t)} (\sec^{2} (3 t) \cdot 3)$

Этап 3.6

Перенесем $3$ влево от $\sec^{2} (3 t)$ .

$\sec^{2} (e^{3 t}) (3 e^{3 t}) + e^{\tan (3 t)} (3 \cdot \sec^{2} (3 t))$

Этап 3.7

Перенесем $3$ влево от $e^{\tan (3 t)}$ .

$\sec^{2} (e^{3 t}) (3 e^{3 t}) + 3 e^{\tan (3 t)} \sec^{2} (3 t)$

Этап 4

Изменим порядок членов.

$3 e^{3 t} \sec^{2} (e^{3 t}) + 3 e^{\tan (3 t)} \sec^{2} (3 t)$