Математический анализ Примеры

$y = \sqrt[5]{x}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[5]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{5}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{5}})$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{5}$ .

$f' (x) = \frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1}$

Этап 1.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$f' (x) = \frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}$

Этап 1.4

Объединим $- 1$ и $\frac{5}{5}$ .

$f' (x) = \frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}$

Этап 1.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (x) = \frac{1}{5} x^{\frac{1 - 1 \cdot 5}{5}}$

Этап 1.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$f' (x) = \frac{1}{5} x^{\frac{1 - 5}{5}}$

Этап 1.6.2

Вычтем $5$ из $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{5} x^{\frac{- 4}{5}}$

Этап 1.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = \frac{1}{5} x^{- \frac{4}{5}}$

Этап 1.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{x^{\frac{4}{5}}}$

Этап 1.8.2

Умножим $\frac{1}{5}$ на $\frac{1}{x^{\frac{4}{5}}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $\frac{1}{5}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}}$ по $x$ равна $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{4}{5}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{5} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{4}{5}}})$

Этап 2.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перепишем $\frac{1}{x^{\frac{4}{5}}}$ в виде ${(x^{\frac{4}{5}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{5} \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{4}{5}})}^{- 1})$

Этап 2.2.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{4}{5}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{5} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{4}{5} \cdot - 1})$

Этап 2.2.2.2

Умножим $\frac{4}{5} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.2.1

Объединим $\frac{4}{5}$ и $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{5} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{4 \cdot - 1}{5}})$

Этап 2.2.2.2.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{5} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{- 4}{5}})$

Этап 2.2.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = \frac{1}{5} \cdot \frac{d}{d x} (x^{- \frac{4}{5}})$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - \frac{4}{5}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{5} \cdot (- \frac{4}{5} x^{- \frac{4}{5} - 1})$

Этап 2.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{5} \cdot (- \frac{4}{5} x^{- \frac{4}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}})$

Этап 2.5

Объединим $- 1$ и $\frac{5}{5}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{5} \cdot (- \frac{4}{5} x^{- \frac{4}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}})$

Этап 2.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = \frac{1}{5} \cdot (- \frac{4}{5} x^{\frac{- 4 - 1 \cdot 5}{5}})$

Этап 2.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$f'' (x) = \frac{1}{5} \cdot (- \frac{4}{5} x^{\frac{- 4 - 5}{5}})$

Этап 2.7.2

Вычтем $5$ из $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{1}{5} \cdot (- \frac{4}{5} x^{\frac{- 9}{5}})$

Этап 2.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = \frac{1}{5} \cdot (- \frac{4}{5} x^{- \frac{9}{5}})$

Этап 2.9

Объединим $x^{- \frac{9}{5}}$ и $\frac{4}{5}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{5} \cdot (- \frac{x^{- \frac{9}{5}} \cdot 4}{5})$

Этап 2.10

Умножим $\frac{1}{5}$ на $\frac{x^{- \frac{9}{5}} \cdot 4}{5}$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{- \frac{9}{5}} \cdot 4}{5 \cdot 5}$

Этап 2.11

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Умножим $5$ на $5$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{- \frac{9}{5}} \cdot 4}{25}$

Этап 2.11.2

Перенесем $4$ влево от $x^{- \frac{9}{5}}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 \cdot x^{- \frac{9}{5}}}{25}$

Этап 2.11.3

Перенесем $x^{- \frac{9}{5}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{25 x^{\frac{9}{5}}}$

Этап 3

Найдем третью производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $- \frac{4}{25}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{4}{25 x^{\frac{9}{5}}}$ по $x$ равна $- \frac{4}{25} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{9}{5}}}]$ .

$f''' (x) = - \frac{4}{25} \cdot \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{\frac{9}{5}}}$

Этап 3.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перепишем $\frac{1}{x^{\frac{9}{5}}}$ в виде ${(x^{\frac{9}{5}})}^{- 1}$ .

$f''' (x) = - \frac{4}{25} \cdot \frac{d}{d x} {(x^{\frac{9}{5}})}^{- 1}$

Этап 3.2.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{9}{5}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f''' (x) = - \frac{4}{25} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{9}{5} \cdot - 1}$

Этап 3.2.2.2

Умножим $\frac{9}{5} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1

Объединим $\frac{9}{5}$ и $- 1$ .

$f''' (x) = - \frac{4}{25} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{9 \cdot - 1}{5}}$

Этап 3.2.2.2.2

Умножим $9$ на $- 1$ .

$f''' (x) = - \frac{4}{25} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{- 9}{5}}$

Этап 3.2.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f''' (x) = - \frac{4}{25} \cdot \frac{d}{d x} x^{- \frac{9}{5}}$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - \frac{9}{5}$ .

$f''' (x) = - \frac{4}{25} \cdot (- \frac{9}{5} x^{- \frac{9}{5} - 1})$

Этап 3.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$f''' (x) = - \frac{4}{25} \cdot (- \frac{9}{5} x^{- \frac{9}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}})$

Этап 3.5

Объединим $- 1$ и $\frac{5}{5}$ .

$f''' (x) = - \frac{4}{25} \cdot (- \frac{9}{5} x^{- \frac{9}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}})$

Этап 3.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$f''' (x) = - \frac{4}{25} \cdot (- \frac{9}{5} x^{\frac{- 9 - 1 \cdot 5}{5}})$

Этап 3.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$f''' (x) = - \frac{4}{25} \cdot (- \frac{9}{5} x^{\frac{- 9 - 5}{5}})$

Этап 3.7.2

Вычтем $5$ из $- 9$ .

$f''' (x) = - \frac{4}{25} \cdot (- \frac{9}{5} x^{\frac{- 14}{5}})$

Этап 3.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f''' (x) = - \frac{4}{25} \cdot (- \frac{9}{5} x^{- \frac{14}{5}})$

Этап 3.9

Объединим $x^{- \frac{14}{5}}$ и $\frac{9}{5}$ .

$f''' (x) = - \frac{4}{25} \cdot (- \frac{x^{- \frac{14}{5}} \cdot 9}{5})$

Этап 3.10

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f''' (x) = 1 (\frac{4}{25}) \cdot \frac{x^{- \frac{14}{5}} \cdot 9}{5}$

Этап 3.10.2

Умножим $\frac{4}{25}$ на $1$ .

$f''' (x) = \frac{4}{25} \cdot \frac{x^{- \frac{14}{5}} \cdot 9}{5}$

Этап 3.11

Умножим $\frac{4}{25}$ на $\frac{x^{- \frac{14}{5}} \cdot 9}{5}$ .

$f''' (x) = \frac{4 (x^{- \frac{14}{5}} \cdot 9)}{25 \cdot 5}$

Этап 3.12

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.1

Умножим $9$ на $4$ .

$f''' (x) = \frac{36 x^{- \frac{14}{5}}}{25 \cdot 5}$

Этап 3.12.2

Умножим $25$ на $5$ .

$f''' (x) = \frac{36 x^{- \frac{14}{5}}}{125}$

Этап 3.12.3

Перенесем $x^{- \frac{14}{5}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f''' (x) = \frac{36}{125 x^{\frac{14}{5}}}$

Этап 4

Найдем четвертую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $\frac{36}{125}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{36}{125 x^{\frac{14}{5}}}$ по $x$ равна $\frac{36}{125} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{14}{5}}}]$ .

$f^{4} (x) = \frac{36}{125} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{14}{5}}})$

Этап 4.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Перепишем $\frac{1}{x^{\frac{14}{5}}}$ в виде ${(x^{\frac{14}{5}})}^{- 1}$ .

$f^{4} (x) = \frac{36}{125} \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{14}{5}})}^{- 1})$

Этап 4.2.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{14}{5}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{4} (x) = \frac{36}{125} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{14}{5} \cdot - 1})$

Этап 4.2.2.2

Умножим $\frac{14}{5} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Объединим $\frac{14}{5}$ и $- 1$ .

$f^{4} (x) = \frac{36}{125} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{14 \cdot - 1}{5}})$

Этап 4.2.2.2.2

Умножим $14$ на $- 1$ .

$f^{4} (x) = \frac{36}{125} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{- 14}{5}})$

Этап 4.2.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f^{4} (x) = \frac{36}{125} \cdot \frac{d}{d x} (x^{- \frac{14}{5}})$

Этап 4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - \frac{14}{5}$ .

$f^{4} (x) = \frac{36}{125} \cdot (- \frac{14}{5} x^{- \frac{14}{5} - 1})$

Этап 4.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$f^{4} (x) = \frac{36}{125} \cdot (- \frac{14}{5} x^{- \frac{14}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}})$

Этап 4.5

Объединим $- 1$ и $\frac{5}{5}$ .

$f^{4} (x) = \frac{36}{125} \cdot (- \frac{14}{5} x^{- \frac{14}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}})$

Этап 4.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{4} (x) = \frac{36}{125} \cdot (- \frac{14}{5} x^{\frac{- 14 - 1 \cdot 5}{5}})$

Этап 4.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$f^{4} (x) = \frac{36}{125} \cdot (- \frac{14}{5} x^{\frac{- 14 - 5}{5}})$

Этап 4.7.2

Вычтем $5$ из $- 14$ .

$f^{4} (x) = \frac{36}{125} \cdot (- \frac{14}{5} x^{\frac{- 19}{5}})$

Этап 4.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f^{4} (x) = \frac{36}{125} \cdot (- \frac{14}{5} x^{- \frac{19}{5}})$

Этап 4.9

Объединим $x^{- \frac{19}{5}}$ и $\frac{14}{5}$ .

$f^{4} (x) = \frac{36}{125} \cdot (- \frac{x^{- \frac{19}{5}} \cdot 14}{5})$

Этап 4.10

Умножим $\frac{36}{125}$ на $\frac{x^{- \frac{19}{5}} \cdot 14}{5}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{36 (x^{- \frac{19}{5}} \cdot 14)}{125 \cdot 5}$

Этап 4.11

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.11.1

Умножим $14$ на $36$ .

$f^{4} (x) = - \frac{504 x^{- \frac{19}{5}}}{125 \cdot 5}$

Этап 4.11.2

Умножим $125$ на $5$ .

$f^{4} (x) = - \frac{504 x^{- \frac{19}{5}}}{625}$

Этап 4.11.3

Перенесем $x^{- \frac{19}{5}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{504}{625 x^{\frac{19}{5}}}$