Математический анализ Примеры

$f (x) = (3 x^{2} + 7) (x^{2} - 2 x + 3)$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = 3 x^{2} + 7$ и $g (x) = x^{2} - 2 x + 3$ .

$(3 x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 3] + (x^{2} - 2 x + 3) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 7]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $x^{2} - 2 x + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$(3 x^{2} + 7) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [3]) + (x^{2} - 2 x + 3) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 7]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$(3 x^{2} + 7) (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [3]) + (x^{2} - 2 x + 3) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 7]$

Этап 2.3

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(3 x^{2} + 7) (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + (x^{2} - 2 x + 3) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 7]$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(3 x^{2} + 7) (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]) + (x^{2} - 2 x + 3) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 7]$

Этап 2.5

Умножим $- 2$ на $1$ .

$(3 x^{2} + 7) (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [3]) + (x^{2} - 2 x + 3) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 7]$

Этап 2.6

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$(3 x^{2} + 7) (2 x - 2 + 0) + (x^{2} - 2 x + 3) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 7]$

Этап 2.7

Добавим $2 x - 2$ и $0$ .

$(3 x^{2} + 7) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 3) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 7]$

Этап 2.8

По правилу суммы производная $3 x^{2} + 7$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$(3 x^{2} + 7) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 3) (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7])$

Этап 2.9

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(3 x^{2} + 7) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 3) (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7])$

Этап 2.10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$(3 x^{2} + 7) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 3) (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [7])$

Этап 2.11

Умножим $2$ на $3$ .

$(3 x^{2} + 7) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 3) (6 x + \frac{d}{d x} [7])$

Этап 2.12

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7$ относительно $x$ равна $0$ .

$(3 x^{2} + 7) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 3) (6 x + 0)$

Этап 2.13

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.13.1

Добавим $6 x$ и $0$ .

$(3 x^{2} + 7) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 3) (6 x)$

Этап 2.13.2

Перенесем $6$ влево от $x^{2} - 2 x + 3$ .

$(3 x^{2} + 7) (2 x - 2) + 6 \cdot (x^{2} - 2 x + 3) x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1