Математический анализ Примеры

$f (x) = (4 x^{2} - 8 x + 8) e^{x}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = 4 x^{2} - 8 x + 8$ и $g (x) = e^{x}$ .

$(4 x^{2} - 8 x + 8) \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 8 x + 8]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$(4 x^{2} - 8 x + 8) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 8 x + 8]$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $4 x^{2} - 8 x + 8$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$(4 x^{2} - 8 x + 8) e^{x} + e^{x} (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [8])$

Этап 3.2

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{2}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(4 x^{2} - 8 x + 8) e^{x} + e^{x} (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [8])$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$(4 x^{2} - 8 x + 8) e^{x} + e^{x} (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [8])$

Этап 3.4

Умножим $2$ на $4$ .

$(4 x^{2} - 8 x + 8) e^{x} + e^{x} (8 x + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [8])$

Этап 3.5

Поскольку $- 8$ является константой относительно $x$ , производная $- 8 x$ по $x$ равна $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(4 x^{2} - 8 x + 8) e^{x} + e^{x} (8 x - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8])$

Этап 3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(4 x^{2} - 8 x + 8) e^{x} + e^{x} (8 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8])$

Этап 3.7

Умножим $- 8$ на $1$ .

$(4 x^{2} - 8 x + 8) e^{x} + e^{x} (8 x - 8 + \frac{d}{d x} [8])$

Этап 3.8

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8$ относительно $x$ равна $0$ .

$(4 x^{2} - 8 x + 8) e^{x} + e^{x} (8 x - 8 + 0)$

Этап 3.9

Добавим $8 x - 8$ и $0$ .

$(4 x^{2} - 8 x + 8) e^{x} + e^{x} (8 x - 8)$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x^{2} e^{x} - 8 x e^{x} + 8 e^{x} + e^{x} (8 x - 8)$

Этап 4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x^{2} e^{x} - 8 x e^{x} + 8 e^{x} + e^{x} (8 x) + e^{x} \cdot - 8$

Этап 4.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Перенесем $- 8$ влево от $e^{x}$ .

$4 x^{2} e^{x} - 8 x e^{x} + 8 e^{x} + e^{x} (8 x) - 8 \cdot e^{x}$

Этап 4.3.2

Добавим $- 8 x e^{x}$ и $e^{x} (8 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Перенесем $e^{x}$ .

$4 x^{2} e^{x} + 8 e^{x} - 8 x e^{x} + 8 x e^{x} - 8 e^{x}$

Этап 4.3.2.2

Добавим $- 8 x e^{x}$ и $8 x e^{x}$ .

$4 x^{2} e^{x} + 8 e^{x} + 0 - 8 e^{x}$

Этап 4.3.3

Добавим $4 x^{2} e^{x} + 8 e^{x}$ и $0$ .

$4 x^{2} e^{x} + 8 e^{x} - 8 e^{x}$

Этап 4.3.4

Вычтем $8 e^{x}$ из $8 e^{x}$ .

$4 x^{2} e^{x} + 0$

Этап 4.3.5

Добавим $4 x^{2} e^{x}$ и $0$ .

$4 x^{2} e^{x}$

Этап 4.4

Изменим порядок множителей в $4 x^{2} e^{x}$ .

$4 e^{x} x^{2}$

Этап 4.5

Изменим порядок множителей в $4 e^{x} x^{2}$ .

$4 x^{2} e^{x}$