Математический анализ Примеры

$f (x) = (3 x - 2) (4 x^{2} + 3)$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = 3 x - 2$ и $g (x) = 4 x^{2} + 3$ .

$(3 x - 2) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 3] + (4 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 2]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $4 x^{2} + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$(3 x - 2) (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]) + (4 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 2]$

Этап 2.2

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{2}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(3 x - 2) (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]) + (4 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 2]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$(3 x - 2) (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [3]) + (4 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 2]$

Этап 2.4

Умножим $2$ на $4$ .

$(3 x - 2) (8 x + \frac{d}{d x} [3]) + (4 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 2]$

Этап 2.5

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$(3 x - 2) (8 x + 0) + (4 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 2]$

Этап 2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Добавим $8 x$ и $0$ .

$(3 x - 2) (8 x) + (4 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 2]$

Этап 2.6.2

Перенесем $8$ влево от $3 x - 2$ .

$8 \cdot (3 x - 2) x + (4 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 2]$

Этап 2.7

По правилу суммы производная $3 x - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$8 (3 x - 2) x + (4 x^{2} + 3) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

Этап 2.8

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 (3 x - 2) x + (4 x^{2} + 3) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

Этап 2.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$8 (3 x - 2) x + (4 x^{2} + 3) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2])$

Этап 2.10

Умножим $3$ на $1$ .

$8 (3 x - 2) x + (4 x^{2} + 3) (3 + \frac{d}{d x} [- 2])$

Этап 2.11

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$8 (3 x - 2) x + (4 x^{2} + 3) (3 + 0)$

Этап 2.12

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.1

Добавим $3$ и $0$ .

$8 (3 x - 2) x + (4 x^{2} + 3) \cdot 3$

Этап 2.12.2

Перенесем $3$ влево от $4 x^{2} + 3$ .

$8 (3 x - 2) x + 3 \cdot (4 x^{2} + 3)$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(8 (3 x) + 8 \cdot - 2) x + 3 (4 x^{2} + 3)$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$8 (3 x) x + 8 \cdot - 2 x + 3 (4 x^{2} + 3)$

Этап 3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$8 (3 x) x + 8 \cdot - 2 x + 3 (4 x^{2}) + 3 \cdot 3$

Этап 3.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Умножим $3$ на $8$ .

$24 x \cdot x + 8 \cdot - 2 x + 3 (4 x^{2}) + 3 \cdot 3$

Этап 3.4.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$24 (x^{1} x) + 8 \cdot - 2 x + 3 (4 x^{2}) + 3 \cdot 3$

Этап 3.4.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$24 (x^{1} x^{1}) + 8 \cdot - 2 x + 3 (4 x^{2}) + 3 \cdot 3$

Этап 3.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$24 x^{1 + 1} + 8 \cdot - 2 x + 3 (4 x^{2}) + 3 \cdot 3$

Этап 3.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$24 x^{2} + 8 \cdot - 2 x + 3 (4 x^{2}) + 3 \cdot 3$

Этап 3.4.6

Умножим $8$ на $- 2$ .

$24 x^{2} - 16 x + 3 (4 x^{2}) + 3 \cdot 3$

Этап 3.4.7

Умножим $4$ на $3$ .

$24 x^{2} - 16 x + 12 x^{2} + 3 \cdot 3$

Этап 3.4.8

Умножим $3$ на $3$ .

$24 x^{2} - 16 x + 12 x^{2} + 9$

Этап 3.4.9

Добавим $24 x^{2}$ и $12 x^{2}$ .

$36 x^{2} - 16 x + 9$