Математический анализ Примеры

$f (x) = (4 x^{2} - 3 x + 3) \cdot (4 x^{2} + 6 x - 11)$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = 4 x^{2} - 3 x + 3$ и $g (x) = 4 x^{2} + 6 x - 11$ .

$(4 x^{2} - 3 x + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 6 x - 11] + (4 x^{2} + 6 x - 11) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 3 x + 3]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $4 x^{2} + 6 x - 11$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 11]$ .

$(4 x^{2} - 3 x + 3) (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 11]) + (4 x^{2} + 6 x - 11) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 3 x + 3]$

Этап 2.2

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{2}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(4 x^{2} - 3 x + 3) (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 11]) + (4 x^{2} + 6 x - 11) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 3 x + 3]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$(4 x^{2} - 3 x + 3) (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 11]) + (4 x^{2} + 6 x - 11) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 3 x + 3]$

Этап 2.4

Умножим $2$ на $4$ .

$(4 x^{2} - 3 x + 3) (8 x + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 11]) + (4 x^{2} + 6 x - 11) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 3 x + 3]$

Этап 2.5

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(4 x^{2} - 3 x + 3) (8 x + 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]) + (4 x^{2} + 6 x - 11) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 3 x + 3]$

Этап 2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(4 x^{2} - 3 x + 3) (8 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 11]) + (4 x^{2} + 6 x - 11) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 3 x + 3]$

Этап 2.7

Умножим $6$ на $1$ .

$(4 x^{2} - 3 x + 3) (8 x + 6 + \frac{d}{d x} [- 11]) + (4 x^{2} + 6 x - 11) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 3 x + 3]$

Этап 2.8

Поскольку $- 11$ является константой относительно $x$ , производная $- 11$ относительно $x$ равна $0$ .

$(4 x^{2} - 3 x + 3) (8 x + 6 + 0) + (4 x^{2} + 6 x - 11) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 3 x + 3]$

Этап 2.9

Добавим $8 x + 6$ и $0$ .

$(4 x^{2} - 3 x + 3) (8 x + 6) + (4 x^{2} + 6 x - 11) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 3 x + 3]$

Этап 2.10

По правилу суммы производная $4 x^{2} - 3 x + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$(4 x^{2} - 3 x + 3) (8 x + 6) + (4 x^{2} + 6 x - 11) (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [3])$

Этап 2.11

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{2}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(4 x^{2} - 3 x + 3) (8 x + 6) + (4 x^{2} + 6 x - 11) (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [3])$

Этап 2.12

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$(4 x^{2} - 3 x + 3) (8 x + 6) + (4 x^{2} + 6 x - 11) (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [3])$

Этап 2.13

Умножим $2$ на $4$ .

$(4 x^{2} - 3 x + 3) (8 x + 6) + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [3])$

Этап 2.14

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(4 x^{2} - 3 x + 3) (8 x + 6) + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])$

Этап 2.15

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(4 x^{2} - 3 x + 3) (8 x + 6) + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])$

Этап 2.16

Умножим $- 3$ на $1$ .

$(4 x^{2} - 3 x + 3) (8 x + 6) + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3 + \frac{d}{d x} [3])$

Этап 2.17

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$(4 x^{2} - 3 x + 3) (8 x + 6) + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3 + 0)$

Этап 2.18

Добавим $8 x - 3$ и $0$ .

$(4 x^{2} - 3 x + 3) (8 x + 6) + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3)$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $1$ из $(4 x^{2} - 3 x + 3) (8 x + 6) + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $1$ из $(4 x^{2} - 3 x + 3) (8 x + 6)$ .

$1 ((4 x^{2} - 3 x + 3) (8 x + 6)) + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3)$

Этап 3.1.2

Вынесем множитель $1$ из $(4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3)$ .

$1 ((4 x^{2} - 3 x + 3) (8 x + 6)) + 1 ((4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3))$

Этап 3.1.3

Вынесем множитель $1$ из $1 ((4 x^{2} - 3 x + 3) (8 x + 6)) + 1 ((4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3))$ .

$1 ((4 x^{2} - 3 x + 3) (8 x + 6) + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3))$

Этап 3.2

Умножим $(4 x^{2} - 3 x + 3) (8 x + 6) + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3)$ на $1$ .

$(4 x^{2} - 3 x + 3) (8 x + 6) + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3)$

Этап 3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Развернем $(4 x^{2} - 3 x + 3) (8 x + 6)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$4 x^{2} (8 x) + 4 x^{2} \cdot 6 - 3 x (8 x) - 3 x \cdot 6 + 3 (8 x) + 3 \cdot 6 + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3)$

Этап 3.3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$4 \cdot 8 x^{2} x + 4 x^{2} \cdot 6 - 3 x (8 x) - 3 x \cdot 6 + 3 (8 x) + 3 \cdot 6 + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3)$

Этап 3.3.2.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Перенесем $x$ .

$4 \cdot 8 (x \cdot x^{2}) + 4 x^{2} \cdot 6 - 3 x (8 x) - 3 x \cdot 6 + 3 (8 x) + 3 \cdot 6 + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3)$

Этап 3.3.2.2.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$4 \cdot 8 (x^{1} x^{2}) + 4 x^{2} \cdot 6 - 3 x (8 x) - 3 x \cdot 6 + 3 (8 x) + 3 \cdot 6 + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3)$

Этап 3.3.2.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 \cdot 8 x^{1 + 2} + 4 x^{2} \cdot 6 - 3 x (8 x) - 3 x \cdot 6 + 3 (8 x) + 3 \cdot 6 + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3)$

Этап 3.3.2.2.3

Добавим $1$ и $2$ .

$4 \cdot 8 x^{3} + 4 x^{2} \cdot 6 - 3 x (8 x) - 3 x \cdot 6 + 3 (8 x) + 3 \cdot 6 + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3)$

Этап 3.3.2.3

Умножим $4$ на $8$ .

$32 x^{3} + 4 x^{2} \cdot 6 - 3 x (8 x) - 3 x \cdot 6 + 3 (8 x) + 3 \cdot 6 + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3)$

Этап 3.3.2.4

Умножим $6$ на $4$ .

$32 x^{3} + 24 x^{2} - 3 x (8 x) - 3 x \cdot 6 + 3 (8 x) + 3 \cdot 6 + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3)$

Этап 3.3.2.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$32 x^{3} + 24 x^{2} - 3 \cdot 8 x \cdot x - 3 x \cdot 6 + 3 (8 x) + 3 \cdot 6 + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3)$

Этап 3.3.2.6

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.6.1

Перенесем $x$ .

$32 x^{3} + 24 x^{2} - 3 \cdot 8 (x \cdot x) - 3 x \cdot 6 + 3 (8 x) + 3 \cdot 6 + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3)$

Этап 3.3.2.6.2

Умножим $x$ на $x$ .

$32 x^{3} + 24 x^{2} - 3 \cdot 8 x^{2} - 3 x \cdot 6 + 3 (8 x) + 3 \cdot 6 + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3)$

Этап 3.3.2.7

Умножим $- 3$ на $8$ .

$32 x^{3} + 24 x^{2} - 24 x^{2} - 3 x \cdot 6 + 3 (8 x) + 3 \cdot 6 + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3)$

Этап 3.3.2.8

Умножим $6$ на $- 3$ .

$32 x^{3} + 24 x^{2} - 24 x^{2} - 18 x + 3 (8 x) + 3 \cdot 6 + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3)$

Этап 3.3.2.9

Умножим $8$ на $3$ .

$32 x^{3} + 24 x^{2} - 24 x^{2} - 18 x + 24 x + 3 \cdot 6 + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3)$

Этап 3.3.2.10

Умножим $3$ на $6$ .

$32 x^{3} + 24 x^{2} - 24 x^{2} - 18 x + 24 x + 18 + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3)$

Этап 3.3.3

Объединим противоположные члены в $32 x^{3} + 24 x^{2} - 24 x^{2} - 18 x + 24 x + 18$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Вычтем $24 x^{2}$ из $24 x^{2}$ .

$32 x^{3} + 0 - 18 x + 24 x + 18 + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3)$

Этап 3.3.3.2

Добавим $32 x^{3}$ и $0$ .

$32 x^{3} - 18 x + 24 x + 18 + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3)$

Этап 3.3.4

Добавим $- 18 x$ и $24 x$ .

$32 x^{3} + 6 x + 18 + (4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3)$

Этап 3.3.5

Развернем $(4 x^{2} + 6 x - 11) (8 x - 3)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$32 x^{3} + 6 x + 18 + 4 x^{2} (8 x) + 4 x^{2} \cdot - 3 + 6 x (8 x) + 6 x \cdot - 3 - 11 (8 x) - 11 \cdot - 3$

Этап 3.3.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.6.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$32 x^{3} + 6 x + 18 + 4 \cdot 8 x^{2} x + 4 x^{2} \cdot - 3 + 6 x (8 x) + 6 x \cdot - 3 - 11 (8 x) - 11 \cdot - 3$

Этап 3.3.6.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.6.2.1

Перенесем $x$ .

$32 x^{3} + 6 x + 18 + 4 \cdot 8 (x \cdot x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 3 + 6 x (8 x) + 6 x \cdot - 3 - 11 (8 x) - 11 \cdot - 3$

Этап 3.3.6.2.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.6.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$32 x^{3} + 6 x + 18 + 4 \cdot 8 (x^{1} x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 3 + 6 x (8 x) + 6 x \cdot - 3 - 11 (8 x) - 11 \cdot - 3$

Этап 3.3.6.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$32 x^{3} + 6 x + 18 + 4 \cdot 8 x^{1 + 2} + 4 x^{2} \cdot - 3 + 6 x (8 x) + 6 x \cdot - 3 - 11 (8 x) - 11 \cdot - 3$

Этап 3.3.6.2.3

Добавим $1$ и $2$ .

$32 x^{3} + 6 x + 18 + 4 \cdot 8 x^{3} + 4 x^{2} \cdot - 3 + 6 x (8 x) + 6 x \cdot - 3 - 11 (8 x) - 11 \cdot - 3$

Этап 3.3.6.3

Умножим $4$ на $8$ .

$32 x^{3} + 6 x + 18 + 32 x^{3} + 4 x^{2} \cdot - 3 + 6 x (8 x) + 6 x \cdot - 3 - 11 (8 x) - 11 \cdot - 3$

Этап 3.3.6.4

Умножим $- 3$ на $4$ .

$32 x^{3} + 6 x + 18 + 32 x^{3} - 12 x^{2} + 6 x (8 x) + 6 x \cdot - 3 - 11 (8 x) - 11 \cdot - 3$

Этап 3.3.6.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$32 x^{3} + 6 x + 18 + 32 x^{3} - 12 x^{2} + 6 \cdot 8 x \cdot x + 6 x \cdot - 3 - 11 (8 x) - 11 \cdot - 3$

Этап 3.3.6.6

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.6.6.1

Перенесем $x$ .

$32 x^{3} + 6 x + 18 + 32 x^{3} - 12 x^{2} + 6 \cdot 8 (x \cdot x) + 6 x \cdot - 3 - 11 (8 x) - 11 \cdot - 3$

Этап 3.3.6.6.2

Умножим $x$ на $x$ .

$32 x^{3} + 6 x + 18 + 32 x^{3} - 12 x^{2} + 6 \cdot 8 x^{2} + 6 x \cdot - 3 - 11 (8 x) - 11 \cdot - 3$

Этап 3.3.6.7

Умножим $6$ на $8$ .

$32 x^{3} + 6 x + 18 + 32 x^{3} - 12 x^{2} + 48 x^{2} + 6 x \cdot - 3 - 11 (8 x) - 11 \cdot - 3$

Этап 3.3.6.8

Умножим $- 3$ на $6$ .

$32 x^{3} + 6 x + 18 + 32 x^{3} - 12 x^{2} + 48 x^{2} - 18 x - 11 (8 x) - 11 \cdot - 3$

Этап 3.3.6.9

Умножим $8$ на $- 11$ .

$32 x^{3} + 6 x + 18 + 32 x^{3} - 12 x^{2} + 48 x^{2} - 18 x - 88 x - 11 \cdot - 3$

Этап 3.3.6.10

Умножим $- 11$ на $- 3$ .

$32 x^{3} + 6 x + 18 + 32 x^{3} - 12 x^{2} + 48 x^{2} - 18 x - 88 x + 33$

Этап 3.3.7

Добавим $- 12 x^{2}$ и $48 x^{2}$ .

$32 x^{3} + 6 x + 18 + 32 x^{3} + 36 x^{2} - 18 x - 88 x + 33$

Этап 3.3.8

Вычтем $88 x$ из $- 18 x$ .

$32 x^{3} + 6 x + 18 + 32 x^{3} + 36 x^{2} - 106 x + 33$

Этап 3.4

Добавим $32 x^{3}$ и $32 x^{3}$ .

$64 x^{3} + 6 x + 18 + 36 x^{2} - 106 x + 33$

Этап 3.5

Вычтем $106 x$ из $6 x$ .

$64 x^{3} - 100 x + 18 + 36 x^{2} + 33$

Этап 3.6

Добавим $18$ и $33$ .

$64 x^{3} - 100 x + 36 x^{2} + 51$