Математический анализ Примеры

$f (x) = (4 x - 2) e^{2 x}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = 4 x - 2$ и $g (x) = e^{2 x}$ .

$(4 x - 2) \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + e^{2 x} \frac{d}{d x} [4 x - 2]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x$ .

$(4 x - 2) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [4 x - 2]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$(4 x - 2) (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [4 x - 2]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$(4 x - 2) (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [4 x - 2]$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(4 x - 2) e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [4 x - 2]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(4 x - 2) e^{2 x} (2 \cdot 1) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [4 x - 2]$

Этап 3.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим $2$ на $1$ .

$(4 x - 2) e^{2 x} \cdot 2 + e^{2 x} \frac{d}{d x} [4 x - 2]$

Этап 3.3.2

Перенесем $2$ влево от $(4 x - 2) e^{2 x}$ .

$2 \cdot ((4 x - 2) e^{2 x}) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [4 x - 2]$

Этап 3.4

По правилу суммы производная $4 x - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$2 (4 x - 2) e^{2 x} + e^{2 x} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

Этап 3.5

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (4 x - 2) e^{2 x} + e^{2 x} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

Этап 3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 (4 x - 2) e^{2 x} + e^{2 x} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2])$

Этап 3.7

Умножим $4$ на $1$ .

$2 (4 x - 2) e^{2 x} + e^{2 x} (4 + \frac{d}{d x} [- 2])$

Этап 3.8

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 (4 x - 2) e^{2 x} + e^{2 x} (4 + 0)$

Этап 3.9

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1

Добавим $4$ и $0$ .

$2 (4 x - 2) e^{2 x} + e^{2 x} \cdot 4$

Этап 3.9.2

Перенесем $4$ влево от $e^{2 x}$ .

$2 (4 x - 2) e^{2 x} + 4 \cdot e^{2 x}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(2 (4 x) + 2 \cdot - 2) e^{2 x} + 4 e^{2 x}$

Этап 4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (4 x) e^{2 x} + 2 \cdot - 2 e^{2 x} + 4 e^{2 x}$

Этап 4.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим $4$ на $2$ .

$8 x e^{2 x} + 2 \cdot - 2 e^{2 x} + 4 e^{2 x}$

Этап 4.3.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$8 x e^{2 x} - 4 e^{2 x} + 4 e^{2 x}$

Этап 4.3.3

Добавим $- 4 e^{2 x}$ и $4 e^{2 x}$ .

$8 x e^{2 x} + 0$

Этап 4.3.4

Добавим $8 x e^{2 x}$ и $0$ .

$8 x e^{2 x}$

Этап 4.4

Изменим порядок множителей в $8 x e^{2 x}$ .

$8 e^{2 x} x$

Этап 4.5

Изменим порядок множителей в $8 e^{2 x} x$ .

$8 x e^{2 x}$